망델브로 집합 (Mandelbrot Set)

덧셈과 곱셈만 아는 아주 짧은 규칙 z ← z² + c 를 반복했을 뿐인데 — 어떤 c는 값이 얌전히 머물고, 어떤 c는 무한대로 튕겨 나간다. "머무는 점"만 검게 칠하면 무한히 파고들어도 똑같은 무늬가 나오는 프랙탈이 태어난다.

1. 복소수 한 점을 규칙에 넣어 본다

복소수 c를 하나 고르고, z를 0에서 시작해 계속 z = z² + c로 바꾼다. 이 값들의 행렬을 궤도(orbit)라고 한다. 궤도가 원점에서 반지름 2를 벗어나는 순간 "이 점은 반드시 무한대로 발산한다"가 수학적으로 보장된다 — 그래서 반지름 2가 탈출선이다.

2. 모든 점을 한 번에 — 탈출 시간 색칠

화면의 픽셀 하나가 복소평면의 c 하나다. 각 픽셀에서 위 반복을 돌려 몇 번 만에 반지름 2를 넘었는지(탈출 시간)를 색으로 바꾼다. 끝까지 안 넘으면 검정 — 그게 망델브로 집합이다. 그림을 클릭하면 그 지점으로 확대된다.

3. 자기 닮음 (self-similarity)

큰 몸통 왼쪽에 붙은 작은 원, 그 위 촉수 끝에 또 붙은 더 작은 몸통… 아무리 확대해도 전체를 닮은 축소판(mini-brot)이 계속 나온다. "부분이 전체를 닮는다"는 이 성질이 프랙탈의 핵심이고, 그래서 이 그림은 정보량은 거의 0인데 세부는 무한하다.

4. 코드로 보면

탈출 시간 한 픽셀은 이게 전부다. 복소수 곱셈 (a+bi)² = a²-b² + 2abi만 풀어 쓰면 된다.

function escapeTime(cx, cy, maxIter) {
  let x = 0, y = 0, iter = 0;
  while (x*x + y*y <= 4 && iter < maxIter) {
    const xt = x*x - y*y + cx;   // z^2 의 실수부 + c
    y = 2*x*y + cy;              // z^2 의 허수부 + c
    x = xt;
    iter++;
  }
  return iter;                   // maxIter 면 "집합 안" 으로 간주
}

경계를 매끄럽게 칠하려면 정수 iter 대신 iter + 1 - log₂(log|z|) 같은 연속 탈출 값(smooth coloring)을 쓴다. 이 페이지의 그림도 그 방식이다.