푸리에 변환

아무리 복잡하게 생긴 신호도 단순한 사인파 여러 개의 합으로 쪼갤 수 있다 — 이것이 푸리에의 아이디어다.

1. 사인파 하나 뜯어보기

모든 것의 재료가 되는 사인파는 세 가지 숫자로 완전히 결정된다. 진폭(amplitude)은 높이, 주파수(frequency)는 1초에 반복되는 횟수, 위상(phase)은 출발 지점이다.

2. 사인파를 더하면 파형이 된다 (합성)

주파수가 1f, 2f, 3f인 사인파(배음, harmonics) 세 개의 진폭을 조절해 보자. 아래 왼쪽은 세 파형을 더한 결과, 오른쪽은 각 성분의 크기를 막대로 나타낸 주파수 스펙트럼이다.

3. 거꾸로 분해하기 — 이산 푸리에 변환(DFT)

위에서는 사인파를 더해 파형을 만들었다. 푸리에 변환은 그 반대다. 완성된 파형만 주고 "이 안에 어떤 주파수가 얼마나 들어 있냐?"를 계산해 낸다. 아래 "미스터리 신호"에는 세 개의 주파수가 숨어 있다. 분석 버튼을 누르면 DFT가 그것을 찾아낸다.

4. 푸리에 급수 — 사인파로 사각파 만들기

놀랍게도 각진 사각파조차 사인파의 합이다. 홀수 배음(1f, 3f, 5f, 7f…)을 1, 1/3, 1/5, 1/7… 크기로 더하면 된다. 항을 늘릴수록 점점 사각형에 가까워진다. 다만 모서리에서 삐죽 튀는 깁스 현상(Gibbs phenomenon)은 항을 무한히 더해도 사라지지 않는다.

코드로 보는 DFT

정의는 딱 한 줄이다. 각 주파수 k에 대해, 신호와 그 주파수의 회전하는 파동을 곱해 전부 더한다. 실제로는 이 O(N²) 계산을 O(N log N)으로 줄인 FFT(고속 푸리에 변환)를 쓴다.

import cmath

def dft(x):
    N = len(x)
    X = []
    for k in range(N):                      # 주파수 k
        s = 0
        for n in range(N):                  # 신호의 각 샘플
            angle = -2j * cmath.pi * k * n / N
            s += x[n] * cmath.exp(angle)
        X.append(s)
    return X                                 # X[k] = 진폭 + 위상 (복소수)

signal = [ ... ]                             # 시간 영역 샘플
spectrum = dft(signal)
magnitude = [abs(v) / len(signal) for v in spectrum]   # 각 주파수의 세기

한눈에 정리