몬테카를로 방법 (Monte Carlo Method)

정확한 공식을 몰라도 괜찮다. 무작위 점을 아주 많이 뿌리고, 조건을 만족한 비율을 세면 넓이·확률·적분값을 근사할 수 있다. 컴퓨터가 잘하는 "일단 엄청 많이 해보기"로 수학 문제를 푸는 방법.

1. 원리: 넓이를 "맞힌 비율"로 바꾸기

한 변이 2인 정사각형(-1 ≤ x, y ≤ 1) 안에 반지름 1짜리 원이 꼭 들어맞는다. 이 안에 점을 완전히 무작위로 던지면, 어떤 점이 원 안에 떨어질 확률은 정확히 두 도형의 넓이 비와 같다.

그러므로 점 N개 중 원 안에 들어간 개수가 M이라면:

점이 원 안인지 판정하는 건 제곱근도 필요 없다 — x² + y² ≤ 1 이면 원 안이다.

2. 직접 던져 보기

「점 뿌리기」를 누르면 매 프레임 수백 개의 점이 정사각형에 떨어진다. 원 안이면 파란색, 밖이면 회색. 아래 추정값이 실제 π(3.14159…)에 어떻게 다가가는지 지켜보자.

3. 얼마나 정확할까? — 큰 수의 법칙과 √N

몬테카를로의 오차는 시행 횟수 N에 대해 1/√N 로 줄어든다. 이건 좋은 소식이자 나쁜 소식이다.

4. 코드로 보기

import random

def estimate_pi(n):
    inside = 0
    for _ in range(n):
        x = random.uniform(-1, 1)
        y = random.uniform(-1, 1)
        if x*x + y*y <= 1:      # 원 안? (sqrt 불필요)
            inside += 1
    return 4 * inside / n

print(estimate_pi(1_000_000))   # 3.14103... 처럼 매번 조금씩 다름

5. 넓이 → 적분으로 일반화

"원 안인가?"를 "곡선 아래인가?"로 바꾸면 정적분을 근사할 수 있다. 예를 들어 0 ≤ x ≤ 1에서 ∫ f(x) dx 는 [0,1]×[0, max f] 상자에 점을 뿌려 곡선 아래 비율 × 상자 넓이로 구한다.

6. 사촌 알고리즘 — 뷔퐁의 바늘

1777년, 뷔퐁 백작은 간격 d로 그은 평행선 위에 길이 ℓ(≤ d)의 바늘을 마구 떨어뜨리면, 바늘이 선을 가로지를 확률이 2ℓ / (πd) 임을 보였다. 던진 횟수 대비 가로지른 횟수로 π를 추정할 수 있다 — 난수 발생기 없이 손으로 바늘만 던져도 되는 최초의 몬테카를로 실험이다.

7. 오늘날 어디에 쓰나