확률의 덧셈정리·곱셈정리

확률과 통계 · 확률 — 두 사건 A, B 의 합사건 확률은 P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). 겹치는 부분을 한 번 빼 주는 게 덧셈정리다. 곱셈정리 P(A∩B) = P(A)·P(B|A) 와 독립의 뜻도 함께 본다.

1. 직접 해보기 — 벤다이어그램

슬라이더로 P(A), P(B), P(A∩B) 를 바꿔 보자. 교집합은 자동으로 max(0, P(A)+P(B)−1) ≤ P(A∩B) ≤ min(P(A), P(B)) 범위로 제한된다. 각 영역의 확률과 조건부확률·독립 여부가 실시간으로 갱신된다.

P(A) 0.50

P(B) 0.40

P(A∩B) 0.20

P(A∪B)

–

P(Aᶜ)

–

P(B|A)

–

P(A)·P(B)

–

영역: –

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

P(A) 와 P(B) 를 그냥 더하면 교집합을 두 번 센 셈이라 한 번 빼 준다. 두 사건이 서로 배반(동시에 일어날 수 없음, A∩B = ∅)이면 P(A∩B) = 0 이므로

배반일 때: P(A∪B) = P(A) + P(B)

어떤 사건 A 가 일어나지 않을 확률(여사건)은

P(Aᶜ) = 1 − P(A)

‘적어도 하나’ 는 여사건으로 — “적어도 한 번 성공”의 확률은 1 − P(한 번도 성공 못 함) 로 푸는 게 훨씬 빠르다. 독립인 시행을 n번 반복해 매번 성공확률이 p 라면 P(적어도 1번) = 1 − (1 − p)ⁿ.

P(A∩B) = P(A)·P(B|A) = P(B)·P(A|B)

여기서 조건부확률 P(B|A) = P(A∩B) / P(A) 는 “A 가 일어났다는 조건에서 B 가 일어날 확률”이다. 만약 A 가 일어나든 말든 B 의 확률이 변하지 않으면, 즉 P(B|A) = P(B) 이면 두 사건은 독립이고

독립 ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B)

관계	정의	P(A∩B)	P(A∪B)
배반(서로소)	동시에 불가능	0	P(A)+P(B)
독립	서로 영향 없음	P(A)·P(B)	P(A)+P(B)−P(A)P(B)
일반	—	P(A)P(B\|A)	P(A)+P(B)−P(A∩B)

주의 — 배반과 독립은 정반대에 가깝다. P(A) > 0, P(B) > 0 인 두 사건이 배반이면 P(A∩B) = 0 ≠ P(A)P(B) 이므로 절대 독립일 수 없다.

성공확률 p 인 시행을 n 번 독립으로 반복할 때, 성공 횟수가 k 일 확률은 ₙCₖ pᵏ (1−p)ⁿ⁻ᵏ (이항분포). 막대그래프로 확인하자.

반복 횟수 6 (n)

성공확률 0.35 (p)

P(성공 0번)

–

P(적어도 1번)

–

기댓값 np

–

한 줄 요약 — 덧셈정리는 겹친 만큼 빼기: P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B). 곱셈정리 P(A∩B)=P(A)P(B|A), 독립이면 P(A)P(B). ‘적어도’ 는 여사건 1−P(Aᶜ) 로.

관련: 조건부확률 · 이항분포 · 주사위 확률