할선에서 접선으로 — 미분계수의 뜻

미적분1 · 미분  |  두 점을 지나는 직선(할선)의 기울기를 재다가, 두 점을 한없이 붙이면 무슨 일이 일어날까?

속도계의 바늘은 "지금 이 순간"의 빠르기를 가리킨다. 그런데 속도는 원래 거리 ÷ 시간, 즉 구간에서 정의되는 양이다. "구간의 평균"에서 "한 점의 순간"으로 넘어가는 이 도약이 바로 미분이다. 그래프에서는 할선의 기울기가 접선의 기울기로 바뀌는 장면으로 나타난다. 아래 위젯에서 증분 h를 줄이면서 그 수렴을 직접 지켜보자.

1. 직접 해보기

함수를 고르고 고정점 a를 옮긴 뒤, h 슬라이더를 왼쪽으로 밀거나 h 절반으로 버튼을 눌러 보자. 주황색 할선이 점점 초록색 접선에 포개지고, 평균변화율 값이 미분계수 f′(a)로 수렴한다.

2. 평균변화율에서 순간변화율로

구간 [a, a+h]에서 y가 변한 양을 x가 변한 양으로 나눈 것이 평균변화율이고, 이것이 두 점 (a, f(a)), (a+h, f(a+h))를 지나는 할선의 기울기다.

여기서 h를 0으로 보내면 뒤의 점이 앞의 점으로 다가오고, 할선은 한 점에서 곡선에 닿는 접선으로 수렴한다. 그 극한값을 a에서의 미분계수(순간변화율) f′(a)라고 정의한다.

이 극한이 존재할 때 "함수 f는 x = a에서 미분가능하다"고 한다. 위젯에서 h < 0 체크를 켜고 끄면 왼쪽/오른쪽 어디에서 다가와도 같은 값에 모이는 걸 볼 수 있다.

예를 들어 f(x) = x²에서 극한을 직접 계산하면 ( (a+h)² − a² ) / h = ( 2ah + h² ) / h = 2a + h → 2a 이다. 위 표의 f′(a) = 2a와 정확히 일치한다.

3. 미분가능성과 연속 — 꺾인 점의 문제

미분가능하면 반드시 연속이다. 하지만 연속이어도 미분가능하지 않을 수 있다. 대표적인 예가 f(x) = |x|의 x = 0이다.

왼쪽에서 다가올 때와 오른쪽에서 다가올 때 할선의 기울기가 각각 −1과 +1로 서로 다르다. 한 값으로 모이지 않으므로 극한이 없고, x = 0에서 접선을 하나로 정할 수 없다. 그래프가 뾰족하게 꺾인 점에서는 미분이 안 된다는 뜻이다. (그밖에 수직 접선을 갖는 점, 불연속점에서도 미분 불가능하다.)

4. 미분계수에서 도함수로

f′(a)는 특정한 한 점 a에서의 값이다. 이제 a를 변수 x로 바꿔서, "각 점마다의 접선 기울기"를 통째로 대응시키는 새 함수를 만들 수 있다. 이것이 도함수 f′(x)다.

위젯에서 a 슬라이더를 천천히 움직이며 초록색 접선 기울기(f′(a))가 어떻게 변하는지 보면, 그 변화 자체가 하나의 함수 그래프를 그린다는 걸 느낄 수 있다. 예컨대 f(x) = x²의 접선 기울기는 a에 정비례(2a)해서 커진다.