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이차함수 그래프 탐험기
공통수학1 · 이차방정식과 이차함수 — 계수 a, b, c를 움직이면 포물선의 모양, 꼭짓점, x축과 만나는 점이 어떻게 바뀔까? 판별식 D = b²−4ac 의 부호가 곧 "그래프가 x축을 몇 번 지나는가"를 결정한다.
슬라이더로 a, b, c 를 바꿔 보자. 그래프는 즉시 다시 그려지고, 오른쪽 수치도 실시간으로 갱신된다.
캔버스는 드래그로 이동, 휠로 확대·축소 할 수 있다.
이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 근의 공식은 x = ( −b ± √D ) / 2a 이고, 여기서 D = b² − 4ac 이다.
√ 안의 값 D 의 부호가 근의 개수를 결정한다. 그래프로 보면 "포물선이 x축과 몇 번 만나는가" 와 정확히 같은 이야기다.
| 판별식 | 실근의 개수 | 그래프와 x축 | 예시 |
|---|---|---|---|
| D > 0 | 서로 다른 두 실근 | 두 점에서 만난다 (교점 2개) | y = x² − x − 6 |
| D = 0 | 중근 (한 개) | 한 점에서 접한다 (접점 1개) | y = x² − 4x + 4 |
| D < 0 | 실근 없음 (허근 2개) | 만나지 않는다 | y = x² + 4 |
위 캔버스에서 x절편 점의 색이 바뀌는 것도 이 표와 같다 — 초록(D>0), 주황(D=0), 그리고 D<0 이면 교점 자체가 사라진다.
두 근을 α, β 라 하면 ax² + bx + c = a(x − α)(x − β) 이다. 우변을 전개해 계수를 비교하면 다음이 나온다.
예를 들어 y = x² − x − 6 은 a=1, b=−1, c=−6 이므로 두 근의 합은 −(−1)/1 = 1, 곱은 −6/1 = −6.
실제 근이 −2 와 3 이니 합 1, 곱 −6 으로 잘 맞는다. 근을 직접 구하지 않고도 두 근의 관계를 알 수 있다는 게 핵심이다.
일반형 y = ax² + bx + c 를 y = a(x − p)² + q 꼴(표준형)로 바꾸면 꼭짓점이 바로 (p, q) 로 보인다. 과정은 완전제곱식 만들기다.
따라서 꼭짓점은 ( −b/2a , −(b²−4ac)/4a ) = ( −b/2a, −D/4a ) 이고, 대칭축은 x = −b/2a 이다.
y좌표에 판별식 D 가 그대로 등장한다는 점을 눈여겨보자 — a > 0 일 때 꼭짓점 y좌표의 부호는 −D 의 부호와 같고, 이는 "포물선이 x축 위/아래/접함" 을 곧바로 말해 준다.