확률과 통계 · 통계 — 이산확률변수 X 의 확률분포를 직접 만들어 보자.
기댓값 E(X) = Σ xᵢpᵢ 는 분포의 무게중심, 분산 V(X) = E(X²) − {E(X)}² 은 흩어진 정도다.
1. 직접 해보기 — 분포표 편집
값의 개수 k 를 정하고(값은 1, 2, …, k), 각 값의 가중치 슬라이더를 움직이자.
확률은 pᵢ = wᵢ / Σw 로 자동 정규화되어 합이 1 이 된다.
막대그래프에 평균선과 ±σ 구간이 함께 그려진다.
기댓값 E(X)
–
E(X²)
–
분산 V(X)
–
표준편차 σ
–
–
2. 선형변환 E(aX+b), V(aX+b)
X 를 Y = aX + b 로 바꾸면:
E(aX + b) = a·E(X) + b | V(aX + b) = a²·V(X) | σ(aX + b) = |a|·σ(X)
E(aX+b)
–
V(aX+b)
–
σ(aX+b)
–
b 를 바꿔도 분산은 그대로(퍼짐은 안 변함), a 를 2배 하면 분산은 4배가 된다.
3. 개념 정리
개념
정의
뜻
확률분포
P(X = xᵢ) = pᵢ, Σpᵢ = 1
각 값이 나올 확률의 표
기댓값(평균)
E(X) = Σ xᵢpᵢ = m
여러 번 반복했을 때의 평균값, 무게중심
분산
V(X) = E((X−m)²) = E(X²) − m²
평균에서 떨어진 정도(제곱)의 평균
표준편차
σ(X) = √V(X)
분산의 제곱근, X 와 같은 단위
V(X) = E(X²) − {E(X)}² 계산이 편한 이유 — 정의식 Σ(xᵢ−m)²pᵢ 을 전개하면
Σxᵢ²pᵢ − 2m·Σxᵢpᵢ + m²·Σpᵢ = E(X²) − 2m² + m² = E(X²) − m².
편차를 일일이 구할 필요 없이 E(X²) 와 E(X) 만 있으면 된다.
이항분포와의 연결 — X ~ B(n, p) 이면 E(X) = np, V(X) = np(1−p),
σ(X) = √{np(1−p)}. 위 편집기로 이항분포 모양을 만들어 값이 맞는지 확인해 볼 수 있다.
한 줄 요약 — E(X)=Σxᵢpᵢ (무게중심), V(X)=E(X²)−{E(X)}² (퍼짐), σ=√V(X).
선형변환은 E(aX+b)=aE(X)+b, V(aX+b)=a²V(X).