분할과 분배

확률과 통계 · 경우의 수 — 여러 개를 여러 묶음으로 나눌 때, 묶음(상자)을 구별하는지, 물건을 구별하는지에 따라 세는 법이 완전히 다르다.

1. 직접 해보기

물건 n개, 그룹 수 k 를 조절한다. ‘같은 물건 → 다른 상자(중복조합)’, ‘다른 물건 → 다른 상자(kⁿ)’, ‘같은 크기 그룹으로 분할’ 등의 값을 비교하자.

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2. 물건 · 상자의 구별

물건 / 상자	빈 상자 허용	빈 상자 불가
다름 / 다름	kⁿ	포함배제 (제2종 스털링수 × k!)
같음 / 다름	ₖHₙ = ₙ₊ₖ₋₁Cₙ	ₙ₋₁Cₖ₋₁
다름 / 같음	제2종 스털링수의 합	제2종 스털링수 S(n, k)
같음 / 같음	자연수 n 의 (k 이하) 분할 수	자연수 n 의 k분할 수

3. 고교 범위 핵심

① 다른 것 → 다른 곳: 각 물건이 k 가지 → kⁿ. ② 같은 것 → 다른 곳: 중복조합 ₖHₙ. ③ 다른 n개를 크기가 정해진 그룹으로: nCr 를 차례로 곱하고, 크기가 같은 그룹이 m개면 m! 로 나눈다. ④ 자연수의 분할은 대개 직접 나열.

핵심 분할·분배는 ‘물건 구별?’, ‘상자 구별?’, ‘빈 상자?’ 세 질문으로 방법이 갈린다. 같은 크기 그룹은 그 개수의 계승으로 나눈다.

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