원과 직선의 위치 관계

공통수학2 · 도형의 방정식 — 원과 직선이 두 점에서 만나는지, 접하는지, 만나지 않는지는 중심에서 직선까지의 거리 d와 반지름 r 딱 두 값만 비교하면 끝난다.

원 (x−a)² + (y−b)² = r² 과 직선 y = mx + k 를 함께 그려 놓고 중심을 옮기거나 반지름·기울기·절편을 바꿔 보자. 직선을 원에 대입해 만든 이차방정식의 판별식 D의 부호와, 거리 d를 r과 비교한 결과가 항상 똑같은 결론을 준다는 걸 눈으로 확인할 수 있다.

1. 직접 해보기

캔버스에서 원의 중심(보라 점)을 드래그하고, 아래 슬라이더로 r · m · k 를 조절하세요. 교점이 생기면 초록 점으로 찍히고, 중심에서 직선에 내린 수선(거리 d)과 반지름 r이 함께 그려집니다.

반지름 r3.0

기울기 m0.50

y절편 k1.0

중심 (a, b)(0.0, 0.0)

거리 d

–

반지름 r

–

판별식 D

–

교점 개수

–

교점: –

2. 두 가지 방법, 같은 결론

방법 A — 판별식 (대입법)

직선 y = mx + k 를 원의 식에 그대로 넣으면 x에 대한 이차방정식이 된다.

(x−a)² + (mx + k − b)² = r²

(1 + m²)x² + 2{m(k−b) − a}x + {a² + (k−b)² − r²} = 0

이 방정식의 실근의 개수가 곧 교점의 개수다. 판별식을 D 라 하면:

판별식	실근	교점	위치 관계
D > 0	서로 다른 두 실근	2개	서로 다른 두 점에서 만난다 (할선)
D = 0	중근	1개	한 점에서 만난다 (접한다)
D < 0	실근 없음	0개	만나지 않는다

방법 B — 중심과 직선 사이의 거리

직선을 mx − y + k = 0 꼴로 두면, 점 (a, b) 와 이 직선 사이의 거리는

d = |m·a − b + k| / √(m² + 1)

이 거리 d 와 반지름 r 을 비교한다.

거리 비교	교점	위치 관계	판별식과의 관계
d < r	2개	두 점에서 만난다	D > 0
d = r	1개	접한다	D = 0
d > r	0개	만나지 않는다	D < 0

왜 같은가? 판별식을 정리하면 D = 4(1 + m²)(r² − d²) 가 된다. 1 + m² > 0 이므로 D의 부호는 r² − d² 의 부호, 즉 r 과 d 의 대소가 그대로 결정한다. 두 방법은 표현만 다를 뿐 완전히 같은 조건이다. 계산은 보통 거리 방법이 훨씬 빠르다.

3. 접선의 방정식

직선이 원에 접할 조건은 d = r 이다. 이 조건을 절편 k에 대해 풀면, 기울기 m이 주어졌을 때 접선을 바로 구할 수 있다.

|m·a − b + k| = r·√(m² + 1) → k = b − m·a ± r√(m² + 1)

부호 ± 때문에 기울기가 같은 접선은 원을 사이에 두고 두 개 나온다. 중심이 원점인 원 x² + y² = r² 이면 간단히 y = mx ± r√(m² + 1) 이다.

원 위의 점 (x₁, y₁) 에서의 접선은 다음처럼 «반씩 나눠 대입»하면 된다.

원	그 위의 점 (x₁, y₁)에서의 접선
x² + y² = r²	x₁x + y₁y = r²
(x−a)² + (y−b)² = r²	(x₁−a)(x−a) + (y₁−b)(y−b) = r²

한 줄 요약 — 원과 직선의 위치 관계는 «중심에서 직선까지의 거리 d» 와 «반지름 r» 의 대소가 전부다. d<r 이면 두 점, d=r 이면 접선, d>r 이면 만나지 않는다. 판별식 방법과는 D = 4(1+m²)(r²−d²) 로 연결된다.

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