에듀테크 프로젝트 대시보드
정규분포와 표준화
키, 시험 점수, 측정 오차 — 자연과 사회의 수많은 데이터가 좌우 대칭인 종 모양(bell curve)을 그린다. 이 곡선을 다루는 두 도구가 정규분포 N(μ, σ²)와 표준화(z점수)다. 고등학교 「확률과 통계 – 통계」 단원.
μ와 σ 슬라이더를 움직이고, 곡선 위를 드래그해 구간 [x₁, x₂]를 잡으면 그 아래 넓이 = 확률 P(x₁ ≤ X ≤ x₂)가 즉시 계산된다. 넓이는 오차함수 erf를 직접 구현해 구한다.
곡선 위 아무 곳이나 눌러 드래그하면 구간이 새로 그려지고, 파란 세로선(핸들)을 잡아 양 끝을 미세 조정할 수 있다.
| 성질 | 의미 |
|---|---|
| 좌우대칭 | x = μ 를 기준으로 완벽히 대칭. 평균 = 중앙값 = 최빈값. |
| 전체 넓이 = 1 | 곡선과 x축 사이 넓이는 항상 1 (전체 확률). 어떤 구간의 넓이가 곧 그 구간의 확률. |
| μ = 위치 | μ만 키우면 곡선 모양은 그대로, 통째로 오른쪽으로 이동. |
| σ = 폭 | σ가 크면 낮고 넓게 퍼지고, 작으면 높고 뾰족해진다. (넓이는 계속 1) |
| 변곡점 = μ ± σ | 곡선이 볼록 → 오목으로 꺾이는 지점이 정확히 평균에서 1σ 떨어진 곳. |
| 점근선 | x가 ±∞ 로 갈수록 곡선은 x축에 한없이 가까워지지만 닿지는 않는다. |
정규분포에서는 평균에서 몇 σ 이내에 데이터가 들어올 확률이 항상 똑같다. 위 버튼으로 각 영역을 눈으로 확인해 보자.
| 구간 | 포함 확률 | 바깥으로 벗어날 확률 |
|---|---|---|
| μ ± 1σ | 약 68.27% | 약 31.7% (한쪽 15.9%) |
| μ ± 2σ | 약 95.45% | 약 4.6% (한쪽 2.3%) |
| μ ± 3σ | 약 99.73% | 약 0.27% (한쪽 0.13%) |
수학 점수는 평균 55점·표준편차 12점, 영어 점수는 평균 70점·표준편차 8점이라고 하자. 두 과목에서 똑같이 79점을 받았다면 어느 쪽이 더 잘한 걸까? μ와 σ가 다르니 원점수만으로는 비교할 수 없다. 그래서 공통의 자로 바꾼다. 이것이 표준화다.
z점수는 “그 값이 평균에서 표준편차 몇 개만큼 떨어져 있는가”를 뜻한다. X가 N(μ, σ²)를 따르면 z는 항상 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다 — 평균 0, 표준편차 1. 위 위젯의 “표준화” 토글을 켜면, μ·σ를 아무리 바꿔도 곡선이 언제나 같은 N(0, 1) 하나로 겹쳐지는 걸 볼 수 있다.
| 과목 | 원점수 x | μ | σ | z = (x−μ)/σ | 해석 |
|---|---|---|---|---|---|
| 수학 | 79 | 55 | 12 | +2.00 | 평균보다 2σ 위 → 상위 약 2.3% |
| 영어 | 79 | 70 | 8 | +1.13 | 평균보다 1.13σ 위 → 상위 약 13% |
같은 79점이지만 수학에서의 79점이 훨씬 더 뛰어난 성적이다. z점수는 이렇게 서로 다른 분포의 값을 한 줄에 세워 준다.
주요 z값에 대한 확률이다. P(Z ≤ z)는 z 왼쪽 전체 넓이, P(0 ≤ Z ≤ z)는 교과서 표에 실리는 값, P(Z ≥ z)는 오른쪽 꼬리 넓이다. (아래 표의 값도 위젯과 똑같은 erf 근사로 계산했다.)
| z | P(Z ≤ z) = Φ(z) | P(0 ≤ Z ≤ z) | P(Z ≥ z) | 비고 |
|---|