이항분포와 정규근사

동전을 n번 던져 앞면이 몇 번 나오는가? 못에 부딪혀 좌우로 튕기는 공이 아래 통에 쌓이면 어떤 모양이 될까? — 두 질문의 답은 모두 이항분포 B(n, p)이고, n이 커지면 정규분포로 수렴한다. 고등학교 「확률과 통계 – 통계」 단원.

갈톤 보드(Galton board)는 영국 통계학자 프랜시스 갈톤이 만든 장치다. 공이 각 줄의 못에서 왼쪽(확률 1−p) 또는 오른쪽(확률 p)으로 떨어지기를 n번 반복하면, "오른쪽으로 간 횟수"가 곧 이항분포를 따르는 확률변수 X가 된다. 통에 쌓인 히스토그램이 종 모양이 되는 걸 눈으로 확인해 보자.

1. 직접 해보기

줄 수 n과 오른쪽으로 갈 확률 p를 조절하고 공을 떨어뜨려 보자. 못에 부딪힐 때마다 확률 p로 오른쪽, 1−p로 왼쪽으로 간다. 쌓인 막대(실측)가 이론적 이항분포(주황 점)와 정규근사 곡선(초록)에 어떻게 겹쳐지는지 관찰한다.

줄 수 n 12

오른쪽 확률 p 0.50

시행 횟수

표본평균 x̄

–E(X)=np

표본분산 s²

–V(X)=np(1−p)

표본표준편차 s

–√(npq)

실측 히스토그램(상대도수) 이론 이항분포 P(X=k) 정규근사 곡선

2. 베르누이 시행과 이항분포

결과가 성공/실패 두 가지뿐이고 성공 확률 p가 매번 일정한 시행을 베르누이 시행이라 한다. 갈톤 보드에서 못 하나를 지나는 것이 베르누이 시행이고(오른쪽=성공), 이를 독립적으로 n번 반복했을 때 성공 횟수 X의 분포가 이항분포 B(n, p)다.

P(X = k) = _nC_k p^k (1−p)^n−k (k = 0, 1, 2, …, n)

평균과 분산은 왜 np, np(1−p)일까

X를 각 시행의 결과 X₁, X₂, …, Xₙ의 합으로 본다. 각 Xₕ는 성공하면 1, 실패하면 0인 베르누이 확률변수다.

	E(Xₕ)	V(Xₕ)
한 번의 시행 Xₕ	p	p(1−p)
X = X₁+…+Xₙ (독립)	np	np(1−p)

E(Xₕ) = 1·p + 0·(1−p) = p, V(Xₕ) = E(Xₕ²) − p² = p − p² = p(1−p). 독립인 확률변수의 합에서는 평균끼리, 분산끼리 더할 수 있으므로:

E(X) = np · V(X) = np(1−p) · σ(X) = √(np(1−p))

위 위젯에서 공을 많이 떨어뜨릴수록 표본평균 x̄ → np, 표본분산 s² → np(1−p)로 가까워지는 것을 readout에서 확인할 수 있다. 이것이 큰수의 법칙이다.

3. 이항분포 → 정규분포 근사

n이 커지면 이항분포의 막대들이 촘촘해지면서 전체 윤곽이 정규분포 N(np, np(1−p))의 종 모양 곡선에 가까워진다. 위젯에서 n을 3 → 16으로 키우며 초록 곡선과 주황 점이 얼마나 잘 겹치는지 보자.

X ~ B(n, p) ≈ N(np, np(1−p)) (n이 충분히 클 때)

근사가 좋아지는 조건	이유
n이 클수록	중심극한정리 — X는 n개의 독립 확률변수의 합이다.
p가 0.5에 가까울수록	분포가 좌우대칭. p가 0이나 1에 치우치면 한쪽으로 쏠려(왜도) 근사가 나빠진다.
보통 np ≥ 5 그리고 n(1−p) ≥ 5	양쪽 꼬리가 0에서 충분히 떨어져 종 모양이 온전히 담긴다.

연속성 보정 (continuity correction)

이항분포는 정수 값만 갖는 이산분포지만 정규분포는 연속분포다. 그래서 P(X ≤ k)를 정규분포로 근사할 때 경계를 k + 0.5까지 넓혀 잡는다. 막대 하나의 폭(1)의 절반만큼 보정하는 것이다.

P(X ≤ k) ≈ Φ( (k + 0.5 − np) / √(np(1−p)) )

현재 설정에서

계산 방법	P(X ≤ m)
이항분포 정확값	–
정규근사 (보정 없음)	–
정규근사 (연속성 보정 +0.5)	–

보정한 쪽이 정확값에 더 가깝다.

한 줄 요약 — 성공 확률 p인 베르누이 시행을 독립적으로 n번 하면 성공 횟수 X는 이항분포 B(n, p)를 따르고, E(X) = np, V(X) = np(1−p)다. n이 크고 p가 극단적이지 않으면(np ≥ 5, n(1−p) ≥ 5) X는 정규분포 N(np, np(1−p))로 근사되며, 이산→연속 변환 시 연속성 보정을 한다. 관련: 정규분포와 표준화 · 중심극한정리 · 주사위 확률.