주사위로 배우는 확률

교육과정: 확률과 통계 — 확률. 주사위 하나의 눈은 완벽하게 균등하다. 그런데 여러 개를 던져 눈의 합을 보면 갑자기 가운데가 불룩한 종 모양이 나타난다. 왜 그럴까? 직접 수만 번 굴려보며 수학적 확률과 통계적 확률, 그리고 큰 수의 법칙을 눈으로 확인해 보자.

1. 직접 해보기 — 주사위를 굴려라

주사위 개수 k를 고르고 "굴리기" 버튼을 눌러라. 파란 막대는 실험으로 얻은 상대도수, 보라 점선은 이론적으로 계산한 확률이다. 시행을 거듭할수록 파란 막대가 보라 선에 달라붙는다.

2. 표본공간과 사건

표본공간 S는 일어날 수 있는 모든 결과의 집합이고, 사건 A는 그 부분집합이다. 주사위 1개를 던지면 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6. "짝수가 나온다"는 사건은 A = {2, 4, 6}, n(A) = 3.

주사위 2개를 던져 (첫 번째, 두 번째)를 순서쌍으로 구별하면 S는 6 × 6 = 36개의 원소를 가진다. 두 눈의 합이 s인 사건은 아래 표에서 같은 대각선 위의 칸들이다.

주황 칸은 합이 7 (총 6가지, 가장 많다). 보라 칸은 합이 6 또는 8.

3. 수학적 확률 vs 통계적 확률

수학적 확률(선험적 확률)은 모든 근원사건이 같은 정도로 기대될 때, 계산으로 얻는다.

통계적 확률(경험적 확률)은 같은 시행을 아주 많이 반복했을 때 상대도수가 가까워지는 값이다.

위 위젯에서 "10000번"을 여러 번 누르며 두 값을 비교해 보라. 이 "가까워짐"을 보장하는 정리가 큰 수의 법칙이다.

두 주사위 합의 확률분포

경우의 수의 합은 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36. 확률의 총합은 1이다.

4. 여사건과 확률의 덧셈정리

여사건 A^c는 "A가 일어나지 않는다"는 사건이다. 전체 확률이 1이므로:

"적어도 하나" 꼴 문제는 여사건이 훨씬 쉽다. 주사위 2개에서 적어도 한 눈이 6일 확률은 1 − P(두 눈 모두 6이 아님) = 1 − (5/6)² = 11/36.

두 사건 A, B에 대해 확률의 덧셈정리는:

A, B가 서로 배반(동시에 일어날 수 없음)이면 P(A ∩ B) = 0이므로 P(A ∪ B) = P(A) + P(B). 예를 들어 두 주사위 합이 "7 또는 11"인 사건은 배반이므로 6/36 + 2/36 = 8/36 = 2/9.

5. 기댓값

확률변수 X가 값 x₁, x₂, …, x_n을 각각 확률 p₁, …, p_n으로 가질 때, 기댓값은:

주사위 1개의 눈 X는 1~6을 각각 1/6로 가지므로:

기댓값은 더하기에 대해 선형이라(각 주사위가 독립일 필요도 없다), 주사위 k개의 합 S_k의 기댓값은 그냥 3.5를 k번 더한 값이다.

위젯의 "표본평균"이 k·3.5로, "표본분산"이 k·35/12로 다가가는지 확인해 보라. 참고로 한 주사위의 분산은 E(X²) − E(X)² = 91/6 − (3.5)² = 35/12다.

6. 균등분포에서 종 모양으로 — 중심극한정리 맛보기

주사위 1개의 분포는 완벽한 균등분포다. 그런데 주사위를 여러 개 더해 평균이나 합을 보면, 원래 분포가 균등하든 말든 그 결과는 정규분포(종 모양)에 가까워진다. 이것이 중심극한정리다. 주사위 3~4개만 되어도 눈으로 종 모양이 보인다.