확률변수의 변환 E(aX+b), V(aX+b)

확률과 통계 · 통계 — 확률변수 X 를 Y = aX + b 로 바꾸면, E(Y) = aE(X) + b, V(Y) = a²V(X), σ(Y) = |a|σ(X). 위치 이동(b)은 분산을 안 바꾸고, 배율(a)은 분산을 a²배 한다.

1. 직접 해보기

a, b 를 조절해 원래 분포(파랑)가 어떻게 이동·확대되는지 본다. 표준화(Z = (X − m)/σ)는 a = 1/σ, b = −m/σ 인 특수한 변환.

–

Z = (X − m) / σ 로 바꾸면 E(Z) = 0, σ(Z) = 1. 이것이 a = 1/σ, b = −m/σ 인 일차변환이다. 정규분포 N(m, σ²) 를 표준정규분포 N(0, 1) 로 바꿔 표(넓이)를 쓸 수 있게 한다.

핵심 일차변환 Y = aX + b 에서 평균은 aE(X)+b, 분산은 a²V(X)(b는 무관), 표준편차는 |a|σ(X). 표준화는 그 특수형.