확률과 통계 · 통계적 추정 — 모집단에서 크기 n 의 표본을 계속 뽑으면 표본평균 X̄ 의 분포가
N(μ, σ²/n) 에 가까워진다(중심극한정리). 한 표본으로 만든 신뢰구간
X̄ ± z·σ/√n 이 모평균 μ 를 얼마나 자주 포함하는지 확인한다.
1. 직접 해보기
모평균 μ, 모표준편차 σ, 표본 크기 n 을 정하고 표본 뽑기 를 눌러 보자.
위 그래프에는 모집단 곡선과 이번 표본의 값·신뢰구간이, 아래 그래프에는 지금까지 모은
표본평균들의 히스토그램이 그려진다. 반복할수록 히스토그램이 좁은 정규분포로 모인다.
신뢰수준 95% (z=1.96)신뢰수준 99% (z=2.576)
뽑은 표본 수
0
표준오차 σ/√n
–
X̄들의 표준편차(관측)
–
구간이 μ 포함한 비율
–
«표본 1개 뽑기» 를 눌러 시작하세요.
최근 표본: –
2. 표본평균의 분포
모평균 μ, 모표준편차 σ 인 모집단에서 크기 n 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 X̄ 에 대해:
E(X̄) = μ | σ(X̄) = σ/√n (표준오차) | V(X̄) = σ²/n
모집단이 정규분포면 X̄ 도 정확히 N(μ, σ²/n) 을 따른다.
모집단이 정규분포가 아니어도 n 이 충분히 크면 X̄ 는 근사적으로 정규분포를 따른다 — 중심극한정리.
n 이 커질수록 표준오차 σ/√n 이 작아져 X̄ 가 μ 근처에 더 촘촘히 모인다.
√n 의 효과 — 표본 크기를 4배로 늘려야 표준오차가 절반이 된다.
n = 25 → n = 100 이면 σ/√n 은 σ/5 → σ/10.
3. 모평균의 신뢰구간 (σ를 아는 경우)
표본평균이 X̄ 로 관측되었을 때, 모평균 μ 에 대한 신뢰도 100(1−α)% 신뢰구간은
X̄ − z(α/2)·σ/√n ≤ μ ≤ X̄ + z(α/2)·σ/√n
신뢰수준
z 값
구간 길이
90%
1.645
2 × 1.645 × σ/√n
95%
1.96
2 × 1.96 × σ/√n
99%
2.576
2 × 2.576 × σ/√n
“95% 신뢰”의 뜻 — 특정한 하나의 구간이 μ 를 포함할 확률이 95%라는 게 아니라,
같은 방법으로 표본을 계속 뽑아 구간을 만들면 그중 약 95%가 μ 를 포함한다는 뜻이다.
위 시뮬레이터에서 100번 반복하면 포함 비율이 95%(또는 99%) 근처로 수렴하는 걸 볼 수 있다.
신뢰수준을 높이면(99%) 구간이 길어져 더 자주 포함하지만, 그만큼 추정이 느슨해진다.
한 줄 요약 — X̄ 는 N(μ, σ²/n) 을 따르고(정규모집단·CLT),
표준오차 σ/√n 은 n 이 커질수록 작아진다.
신뢰구간 X̄ ± z·σ/√n 은 반복 추출 시 신뢰수준만큼 μ 를 포함한다.