지수함수와 로그함수

고등학교 「대수」 — 지수함수 y = aˣ 와 로그함수 y = logₐx 는 서로 역함수이고, 그래프는 직선 y = x 에 대해 완벽히 대칭이다. 밑 a 를 움직여 이 관계를 눈으로 확인해 보자.

왜 흥미로운가 — 곱셈을 덧셈으로 바꿔주는 로그 덕분에 계산자, 데시벨, pH, 리히터 규모, 그리고 "몇 자리 수인지" 같은 문제가 한 줄로 풀린다. 지수와 로그는 같은 사실을 반대 방향에서 본 것뿐이다: aˣ = N ⇔ x = logₐN.

1. 직접 해보기

밑 a 슬라이더를 움직이면 파란 곡선 y = aˣ 와 초록 곡선 y = logₐx 가 즉시 반응한다. a > 1 이면 증가함수, 0 < a < 1 이면 감소함수다. 캔버스를 좌우로 드래그하면 점 x 가 움직이고, 지수함수 위의 점 P = (x, aˣ) 와 그것을 y = x 에 대칭시킨 P′ = (aˣ, x) 가 함께 표시된다. P′ 는 항상 로그함수 위에 있다.

밑 a 2.00

평행이동 보기 y = a^(x−p) + q

가로 이동 p 0.0

세로 이동 q 0.0

y = a^(x−p) + q y = logₐ(x−q) + p y = x (점선)

밑 a / 증감

2.00 · 증가

점 P = (x, aˣ)

(1.00, 2.00)

대칭점 P′ = (aˣ, x)

(2.00, 1.00)

점근선 (지수 / 로그)

y=0 / x=0

2^1.00 = 2.00 ⇔ log₂ 2.00 = 1.00

2. 역함수와 대칭

함수 y = aˣ 에서 x 와 y 를 맞바꾸면 x = aʸ, 즉 y = logₐx 가 된다. x 와 y 를 바꾸는 것은 좌표평면에서 직선 y = x 에 대한 대칭이동과 정확히 같은 조작이다. 그래서 두 그래프는 y = x 를 접는 선으로 겹쳐진다.

	y = aˣ (지수함수)	y = logₐx (로그함수)
정의역	실수 전체	양의 실수 (x > 0)
치역	양의 실수 (y > 0)	실수 전체
지나는 점	(0, 1), (1, a)	(1, 0), (a, 1)
점근선	x축 (y = 0)	y축 (x = 0)
a > 1	증가	증가
0 < a < 1	감소	감소

평행이동도 대칭이다. y = a^(x−p) + q 의 점근선은 y = q, 그 역함수 y = logₐ(x−q) + p 의 점근선은 x = q. 점 (p, 1+q) 와 (1+q, p) 가 서로의 대응점이 된다. 위 위젯에서 평행이동 보기를 켜고 확인해 보자.

3. 지수법칙과 로그의 성질

지수법칙 (a > 0, b > 0)

aˣ · aʸ = a^x+y aˣ / aʸ = a^x−y (aˣ)ʸ = a^xy a⁰ = 1 a^−x = 1 / aˣ

로그의 성질 (a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0)

곱 → 합: logₐ(MN) = logₐM + logₐN
몫 → 차: logₐ(M / N) = logₐM − logₐN
지수 → 계수: logₐ(Mᵏ) = k · logₐM
밑 변환: logₐN = logᵦN / logᵦa (어떤 밑 b 로도)
기본값: logₐ1 = 0, logₐa = 1, a^(logₐN) = N

지수법칙 aˣ·aʸ = a^x+y 의 양변에 로그를 씌우면 곧바로 logₐ(MN) = logₐM + logₐN 이 나온다. 로그가 "곱셈을 덧셈으로" 바꾸는 이유가 바로 이것이다.

4. 상용로그로 자릿수 세기

밑이 10 인 로그를 상용로그 (log, 밑 생략) 라 한다. 자연수 N 이 몇 자리 수인지는 ⌊log N⌋ + 1 로 알 수 있다. 10ⁿ 이 n+1 자리이므로, log N 의 정수부분이 자릿수를 결정한다.

2¹⁰⁰ 의 자릿수 = ⌊100 · log 2⌋ + 1 = ⌊100 · 0.30103⌋ + 1 = ⌊30.103⌋ + 1 = 31

계산기의 log 버튼 하나로, 직접 쓰면 종이가 모자랄 300해가 넘는 수의 자릿수를 즉시 구했다. 같은 원리로 log 3 ≈ 0.4771 을 쓰면 3⁵⁰ 은 ⌊50·0.4771⌋+1 = 24자리 수다.

수	계산	자릿수
2¹⁰	⌊10 · 0.30103⌋ + 1 = ⌊3.01⌋ + 1	4 (= 1024)
2⁶⁴	⌊64 · 0.30103⌋ + 1 = ⌊19.27⌋ + 1	20
5¹⁰⁰	⌊100 · 0.69897⌋ + 1 = ⌊69.90⌋ + 1	70

한 줄 요약 — 지수함수 y = aˣ 와 로그함수 y = logₐx 는 같은 관계 aˣ = N ⇔ x = logₐN 를 반대로 읽은 것이라, 그래프가 y = x 에 대해 대칭이다. a > 1 이면 증가, 0 < a < 1 이면 감소하며, 로그는 곱셈을 덧셈으로 바꿔 자릿수 세기·밑 변환 같은 계산을 쉽게 만든다.
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