에듀테크 프로젝트 대시보드
조건부확률과 베이즈 정리
교육과정: 확률과 통계 — 확률. 정확도 99%짜리 검사에서 양성이 나왔다. 그럼 내가 실제로 병일 확률도 99%일까? 놀랍게도 병이 드물면 그 확률은 20%도 안 될 수 있다. 슬라이더를 움직이며 왜 그런지 눈으로 확인해 보자.
아래 슬라이더로 유병률(병을 가진 사람 비율), 민감도(병이 있을 때 양성이 나올 확률 P(+|D)), 특이도(병이 없을 때 음성이 나올 확률 P(−|Dc))를 조절하라. 격자·나무그림·분할표가 즉시 바뀐다.
| 병 있음 (D) | 병 없음 (Dᶜ) | 합계 | |
|---|---|---|---|
| 검사 양성 (+) | 10 | 50 | 60 |
| 검사 음성 (−) | 0 | 941 | 941 |
| 합계 | 10 | 990 | 1000 |
사건 A가 일어났다는 조건 아래에서 사건 B가 일어날 확률을 조건부확률 P(B|A)라 하고, 다음과 같이 정의한다 (단, P(A) > 0).
표본공간 전체가 아니라 "A가 일어난 세계"로 무대를 좁힌 뒤 그 안에서 B의 비율을 보는 것이다. 위 위젯에서 P(D|+)는 "무대를 양성 판정자로 좁힌 뒤" 그중 실제 환자의 비율이다.
정의의 양변에 P(A)를 곱하면 두 사건이 함께 일어날 확률을 얻는다.
예: 병이 있고(P(D)) 그 상태에서 양성이 나올(P(+|D)) 확률 → P(D ∩ +) = P(D)·P(+|D). 이것이 나무그림에서 한 가지를 따라 확률을 곱해 내려가는 이유다.
표본공간이 서로 배반인 D와 Dc로 나뉜다고 하자. 사건 +(양성)는 "병 있으면서 양성" 또는 "병 없으면서 양성" 두 갈래로만 일어난다. 각 갈래의 확률을 더하면 전확률 공식이다.
이제 조건부확률의 정의에 곱셈정리와 전확률 공식을 대입하면 베이즈 정리가 나온다.
지금 슬라이더 값으로 실제 숫자를 대입하면 이렇게 된다 (값을 바꾸면 아래 식도 즉시 갱신된다):
가장 흔한 실수는 두 조건부확률을 같은 것으로 착각하는 것이다.
| 표현 | 의미 | 예시 값 |
|---|---|---|
| P(+ | D) | 병이 있는 사람이 양성일 확률 (민감도) | 0.990 |
| P(D | +) | 양성인 사람이 실제로 병일 확률 | 0.167 |
둘을 잇는 다리가 바로 베이즈 정리다. 두 값의 비는 곱셈정리에서 곧바로 나온다.
즉 P(D)가 P(+)보다 훨씬 작으면(=병이 드물면) P(D|+)는 P(+|D)보다 훨씬 작아진다. "검사 정확도"라는 말은 보통 P(+|D), P(−|Dc)를 가리키지, 우리가 정말 알고 싶은 P(D|+)가 아니다.
두 사건 A, B가 서로 독립이면, 한쪽이 일어났다는 정보가 다른 쪽 확률을 바꾸지 않는다.
검사가 병과 독립이라면(=엉터리 검사) P(+|D) = P(+|Dc)가 되어, 양성이 나와도 P(D|+) = P(D) 그대로다. 검사가 정보를 주는 것은 두 사건이 독립이 아니기 때문이다. 위젯에서 민감도와 (1−특이도)를 같게 맞춰 보면 P(D|+)가 유병률과 똑같아진다.
문 A·B·C 중 하나에 자동차가 있고 내가 A를 골랐다. 진행자가 B를 열어 염소를 보여줬다. 구하고 싶은 것은 "진행자가 B를 열었다"는 조건 아래 자동차가 C에 있을 확률 P(C차 | B열림)이다.
진행자의 문 열기는 정답을 아는 사람의 선택이라 정보가 담겨 있고, 그 조건이 확률을 1/3에서 2/3로 갱신한다. 질병 검사에서 "양성"이라는 증거가 확률을 갱신하는 것과 똑같은 구조다.