이항분포의 평균과 분산

확률과 통계 · 통계 — 성공 확률 p 인 독립시행을 n번 할 때 성공 횟수 X 는 이항분포 B(n, p) 를 따른다. E(X) = np, V(X) = np(1−p), σ(X) = √{np(1−p)}.

1. 직접 해보기

n, p 를 조절한다. 막대는 B(n, p) 의 확률질량함수, 빨간 선이 평균 np, 그 좌우로 ±σ 를 가늠해 보자. p = 0.5 일 때 좌우 대칭.

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n 이 충분히 크면 B(n, p) 는 정규분포 N(np, npq) 로 근사된다(보통 np ≥ 5 이고 nq ≥ 5). 이때 표준화 Z = (X − np) / √(npq) 로 확률을 표에서 읽는다. 이것이 큰 표본에서 통계적 추정의 바탕.

핵심 이항분포 B(n,p) 의 평균은 np, 분산은 npq. 한 번 시행의 평균 p·분산 pq 를 n배 한 것이다.