정적분의 활용 — 넓이와 거리

미적분1 · 적분 — 두 곡선 y = f(x), y = g(x) 사이의 넓이는 ∫ (위 − 아래) dx — 교점을 구간의 끝으로 삼는다. 수직선 운동에서 위치 변화는 ∫v dt, 움직인 거리는 ∫|v| dt.

1. 직접 해보기

포물선 y = x² − 2 (파랑)와 직선 y = x (분홍)의 교점을 구간으로, 그 사이 넓이(초록)를 확인하자. 직선을 위아래로 옮기면 넓이가 바뀐다.

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수직선 위를 움직이는 점의 속도가 v(t) 일 때, 시각 a → b 동안 위치의 변화 = ∫ₐᵇ v(t) dt, 실제로 움직인 거리 = ∫ₐᵇ |v(t)| dt. v 의 부호가 바뀌는 시각(정지·방향 전환)에서 구간을 나눠 절댓값을 벗긴다.

핵심 두 곡선 사이 넓이 = ∫(위−아래) dx, 구간은 교점. 운동에서 위치 변화는 ∫v dt, 움직인 거리는 ∫|v| dt.