방정식의 실근 개수 (도함수의 활용)

미적분1 · 미분 — 삼차방정식 등의 실근 개수는 y = f(x) 그래프를 그리고 수평선 y = k 와 교점을 세면 된다. 극댓값·극솟값과 k 의 대소가 개수를 정한다.

1. 직접 해보기

삼차함수 f(x) = x³ − 3x 는 극댓값 2, 극솟값 −2. 수평선 y = k 를 올리고 내리며 f(x) = k 의 실근이 3개 → 2개(접함) → 1개로 바뀌는 것을 보자.

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f(x) = k 를 y = f(x) 와 y = k 로 나누면, 파라미터 k 가 어디에 있어도 그래프는 그대로 고정되고 수평선만 움직인다. 매개변수가 든 방정식의 근의 개수 문제는 이렇게 상수 분리 하는 것이 정석.

핵심 f(x) = k 의 실근 개수 = 그래프와 수평선의 교점 수. 극댓값·극솟값을 구하고 k 와 비교한다.