"부피를 가장 크게", "재료를 가장 적게" — 현실의 최적화 문제는 결국 한 변수 함수의 극값 찾기로 바뀐다.
도함수를 0 으로 놓고 푼 값이, 슬라이더로 직접 찾은 최적값과 정확히 맞아떨어지는 걸 확인해 보자. (미적분1 · 미분)
넓이·부피·거리처럼 바꿀 수 있는 값이 있으면, 그것을 변수 x 로 놓고
구하려는 양을 f(x) 로 표현한다. 그다음은 늘 똑같다 —
미분해서 f′(x) = 0 이 되는 x 를 찾고, 그 점이 정말 최대(또는 최소)인지 확인한다.
아래 세 가지 고전 문제에서 이 절차가 어떻게 작동하는지 눈으로 보자.
1. 직접 해보기
한 변이 L 인 정사각형 판지의 네 귀퉁이에서 한 변이 x 인 정사각형을 잘라내고 접으면,
밑면 (L−2x)×(L−2x), 높이 x 인 뚜껑 없는 상자가 된다.
부피가 최대가 되는 x 는?
왼쪽: 자를 부분(빨강)과 접는 선(파랑 점선) · 오른쪽: 완성된 상자
V(x) = x(L−2x)² · ● 현재 x · ● 이론적 최대점
현재 x
1.20
현재 부피 V(x)
–
이론 최적 x* = L/6
–
최대 부피 V*
–
최적값과 일치?
–
V(x) = x(L − 2x)² // 정의역 0 < x < L/2
V′(x) = (L − 2x)² + x·2(L − 2x)·(−2) = (L − 2x)(L − 2x − 4x)
= (L − 2x)(L − 6x)
V′(x) = 0 → x = L/2 (상자가 안 됨, 버림) 또는 x = L/6
끝점: V(0) = V(L/2) = 0 → x = L/6 에서 최대
L = 12 → x* = L/6 = 2.00, V* = 2L³/27 = 128.0
한 변이 벽이라 울타리가 필요 없는 직사각형 우리를 만든다.
울타리 전체 길이는 P. 벽에 수직인 두 변의 길이를 x 라 하면 벽과 나란한 변은 P − 2x 이다.
넓이가 최대인 x 는?
주황 = 벽(울타리 불필요) · 파랑 = 울타리 3변 · 초록 = 우리 넓이
A(x) = x(P−2x) · ● 현재 x · ● 이론적 최대점
현재 x
6.0
벽 쪽 변 y = P−2x
–
현재 넓이 A(x)
–
이론 최적 x* = P/4
–
최대 넓이 A* = P²/8
–
넓이 A = x·y, 울타리 조건 2x + y = P → y = P − 2x
A(x) = x(P − 2x) = Px − 2x² // 정의역 0 < x < P/2
A′(x) = P − 4x
A′(x) = 0 → x = P/4 (A″ = −4 < 0 이므로 최대)
끝점: A(0) = A(P/2) = 0
P = 40 → x* = 10.0, y = 20.0, A* = P²/8 = 200.0
부피 V 를 담는 원기둥 캔을 만들되, 겉넓이(재료)를 최소로 하고 싶다.
반지름 r 을 정하면 높이는 h = V/(πr²) 로 자동으로 결정된다.
겉넓이 S = 2πr² + 2πrh 가 최소인 r 은?
부피 V 고정 · r 을 키우면 h 는 줄어든다 (초록 = r, 주황 = h)
S(r) = 2πr² + 2V/r · ● 현재 r · ● 이론적 최소점
현재 r
3.8
그때 높이 h
–
현재 겉넓이 S(r)
–
이론 최적 r*
–
최소 겉넓이 S*
–
부피 고정: πr²h = V → h = V/(πr²)
S(r) = 2πr² + 2πr·h = 2πr² + 2V/r// 정의역 r > 0
S′(r) = 4πr − 2V/r²
S′(r) = 0 → 4πr³ = 2V → r³ = V/(2π) → r* = (V/(2π))1/3
r → 0⁺ 또는 r → ∞ 에서 S → ∞ → r* 에서 최소
V = 1000 → r* = 5.42, h* = 10.84 = 2r* // 높이 = 지름!, S* = 553
2. 최적화 문제를 푸는 순서
세 문제 모두 똑같은 흐름을 따랐다. 시험에서든 실전에서든 이 순서를 지키면 된다.
변수 설정 — 조절 가능한 양을 문자로 놓는다 (상자의 x, 울타리의 x, 캔의 r).
관계식 세우기 — 문제의 제약(판지 크기, 울타리 길이, 부피)을 식으로 적는다.
한 변수 함수로 — 관계식으로 나머지 변수를 소거해 목표량을 f(x) 하나로 만든다. 정의역도 같이 적는다.
미분해서 f′(x) = 0 — 임계점(critical point)을 구한다.
극값 판정 + 끝점 확인 — 증감표·2계도함수 부호로 최대/최소인지 보고, 정의역 끝점 값과도 비교한다.
문제
목표 함수 f(x)
f′(x)
f′(x)=0 해
최적값
상자 부피
x(L−2x)²
(L−2x)(L−6x)
x = L/6
V = 2L³/27
울타리 넓이
x(P−2x)
P − 4x
x = P/4
A = P²/8
캔 겉넓이
2πr² + 2V/r
4πr − 2V/r²
r = (V/2π)1/3
S = 3·(2πV²)1/3
3. 극값이 곧 최댓값은 아니다 — 정의역과 끝점
f′(x) = 0 이 되는 점을 찾았다고 끝이 아니다. 그 점이 극댓값일 수도, 극솟값일 수도, 심지어 극값이 아닐 수도 있다.
또 닫힌 구간에서 최대·최소는 임계점 아니면 구간의 끝점에서 나온다. 두 곳을 모두 확인해야 한다.
닫힌 구간 [a, b] 에서 연속함수의 최대·최소
= { f(임계점들), f(a), f(b) } 중 가장 큰 값 / 가장 작은 값
위 세 문제는 모두 운이 좋게 임계점이 곧 최적점이었다. 그 이유는 끝점에서 목표량이 의미를 잃기 때문이다 —
상자·울타리는 끝점에서 넓이·부피가 0 이 되고, 캔은 r→0 이나 r→∞ 에서 겉넓이가
∞ 로 발산한다. 그래서 유일한 임계점이 자동으로 최댓값·최솟값이 된다.
하지만 문제에 "0 ≤ x ≤ 3" 같은 조건이 붙으면 이야기가 달라진다.
흔한 실수 — "미분해서 0 나오는 값" 하나만 답으로 적고 끝내기.
반드시 (1) 그 점이 최대인지 최소인지 증감으로 판정하고, (2) 정의역이 닫힌 구간이면 끝점 값과 비교하자.
파이썬으로 상자 문제 확인
defvolume(x, L=12):
return x * (L - 2*x)**2# 정의역 (0, L/2) 를 촘촘히 훑어 최댓값 찾기 (수치적 확인)
best = max((volume(i/1000), i/1000) for i in range(1, 6000))
print(best) # (128.0, 2.0) → x* = 2 = 12/6, V* = 128 = 2·12³/27# 도함수 V'(x) = (L-2x)(L-6x) 의 근: x = L/2(버림), x = L/6
한 줄 요약 — 최적화 문제는 변수 설정 → 관계식 → 한 변수 함수 f(x) → f′(x)=0 → 극값·끝점 판정 의 5단계다.
슬라이더로 찾은 최적값과 미분으로 구한 x* 가 정확히 일치하는 것을 확인했다.