접선의 방정식

미적분1 · 미분 — 곡선 y = f(x) 위의 점 (a, f(a)) 에서의 접선은 기울기가 f′(a) 인 직선. 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 «접점을 미지수로» 두고 구한다.

접선의 핵심은 «그 점에서의 순간변화율이 곧 기울기» 라는 것이다. 곡선 위의 점을 알면 바로 쓸 수 있고, 곡선 밖의 점에서 그을 때는 접점 t 를 모른다고 두고 «접선이 그 점을 지난다» 는 조건으로 t 를 구한다. 삼차·이차곡선에서는 접점이 2개 나오는 일이 흔하다.

1. 직접 해보기

함수를 고르고 캔버스에서 보라 점(접점)을 좌우로 드래그하면 접선이 따라 움직입니다. 초록 점(외부점)을 드래그하면 그 점에서 곡선에 그은 모든 접선(주황)이 그려지고 접점이 표시됩니다. 접선이 곡선과 다시 만나는 교점도 함께 찍힙니다.

접점 a (드래그로도 조절)1.00

외부점에서 접선 그리기

접점 (a, f(a))

–

기울기 f′(a)

–

접선의 방정식

–

외부점 접점 개수

–

2. 곡선 위의 점에서의 접선

곡선 y = f(x) 위의 점 (a, f(a)) 에서의 접선은 기울기 f′(a) 를 가지므로, 점-기울기 꼴로

y − f(a) = f′(a)·(x − a)

예: f(x) = x² 위의 점 (2, 4) 에서 f′(x) = 2x 이므로 f′(2) = 4, 접선은 y − 4 = 4(x − 2) → y = 4x − 4.

3. 곡선 밖의 점에서 그은 접선

곡선 위에 있지 않은 점 P(p, q) 에서 곡선에 접선을 그으려면, 접점을 (t, f(t)) 로 두고 다음 두 조건을 함께 쓴다.

조건	식
① 접선의 기울기는 f′(t)	y − f(t) = f′(t)(x − t)
② 접선이 점 P(p, q) 를 지난다	q − f(t) = f′(t)(p − t)

②를 t 에 대한 방정식으로 풀면 접점의 x 좌표가 나온다. 근이 2개면 접선도 2개다.

예) f(x) = x², P(1, −3): −3 − t² = 2t(1 − t) → t² − 2t − 3 = 0 → t = 3, −1

즉 접점은 (3, 9) 와 (−1, 1), 접선은 y = 6x − 9 와 y = −2x − 1. 위젯에서 초록 외부점을 (1, −3) 근처로 옮겨 두 접선을 확인해 보자.

흔한 실수 — 외부점의 좌표를 그대로 f′ 에 넣으면 안 된다. f′(p) 가 아니라 f′(t)(접점에서의 미분계수)가 기울기다. 외부점은 «접선이 지나가는 점»일 뿐 접점이 아니다.

4. 접선과 곡선의 교점

접선 y = g(x) 와 곡선의 교점은 f(x) − g(x) = 0 의 해다. 접점 x = t 는 항상 중근으로 나타난다(접한다는 뜻). 삼차함수라면 f(x) − g(x) = (x − t)²(x − s) 꼴이 되어, 접점 외에 교점이 하나 더 생길 수 있다.

한 줄 요약 — 곡선 위의 점 접선은 y − f(a) = f′(a)(x − a). 곡선 밖의 점에서는 접점을 t 로 두고 «접선이 그 점을 지난다» 는 식을 풀어 t 를 구한다(근의 개수 = 접선의 개수).

관련: 할선에서 접선으로 · 도함수 그래프 · 최적화 문제