함수의 연속과 사잇값 정리

미적분1 · 함수의 극한과 연속 — f 가 [a, b] 에서 연속이고 f(a), f(b) 사이의 값 k 에 대해 f(c) = k 인 c 가 (a, b) 에 적어도 하나 존재한다(사잇값 정리). 방정식의 실근 존재 증명에 쓰인다.

1. 직접 해보기

연속함수 f(x) = x³ − 3x + t 에서 상수 t 를 움직인다. 수평선 y = 0 이 f(a)와 f(b)의 부호를 다르게 가르면(f(a)f(b) < 0), 그 사이에 근이 있다.

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‘f(x) = 0 이 (a, b) 에서 적어도 하나의 실근을 가진다’ 를 보이려면 f 가 연속 + f(a)f(b) < 0 을 확인하면 끝. 다항·지수·로그·삼각함수는 정의역에서 연속이다. (역은 성립 안 함 — 같은 부호여도 근이 있을 수 있다.)

핵심 연속 = 함숫값·극한값이 존재하고 서로 같음. 연속함수가 두 끝에서 부호가 다르면 그 사이에 근이 있다(사잇값 정리).