부정적분과 정적분 (미적분의 기본정리)

미적분1 · 적분 — F′(x) = f(x) 이면 F 는 f 의 부정적분(원시함수). 정적분은 ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) — 넓이(부호 있는)를 원시함수의 값 차이로 계산한다.

1. 직접 해보기

적분 구간의 끝 b 를 움직인다. 파란 곡선 f(x) 아래의 넓이(초록 색칠, a 부터 b 까지)가 원시함수 F(b) − F(a) 와 같음을 확인하자.

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2. 부정적분 공식

f(x)	∫ f(x) dx
xⁿ (n ≠ −1)	xⁿ⁺¹/(n+1) + C
k (상수)	kx + C
a·f(x) ± b·g(x)	a∫f ± b∫g
f′(x)	f(x) + C

3. 기본정리 두 얼굴

① ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) (F′ = f) — 계산용. ② d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x) — 적분으로 정의된 함수의 미분. 정적분은 값(수), 부정적분은 함수(+C) 라는 점을 구분한다. 정적분에서 위끝 < 아래끝이면 부호가 바뀐다.

핵심 F′ = f ⇔ F는 f의 부정적분. 정적분 ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a). 적분과 미분은 서로 역연산(미적분의 기본정리).