함수의 극한의 성질

미적분1 · 함수의 극한과 연속 — lim f(x) = α, lim g(x) = β 가 모두 존재하면 합·차·곱·상수배의 극한은 그 값들의 합·차·곱·상수배. 몫은 β ≠ 0 일 때 α/β.

1. 직접 해보기

두 함수 f(x) = x + a, g(x) = x² + b 를 두고 x → c 로 보낼 때, f+g·f·g 의 극한이 각각의 극한값으로 계산되는지 확인하자.

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2. 극한의 성질 (α, β 존재)

극한	값
lim {f(x) ± g(x)}	α ± β
lim {k·f(x)}	k·α
lim {f(x)·g(x)}	α·β
lim {f(x)/g(x)}	α/β (β ≠ 0)

3. 대소 관계와 샌드위치

x = a 근처에서 f(x) ≤ g(x) 이고 두 극한이 존재하면 lim f ≤ lim g. f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) 이고 lim f = lim g = L 이면 lim h = L (샌드위치 정리). 극한이 존재하지 않으면 이 성질들을 함부로 쓰면 안 된다.

핵심 두 극한이 모두 존재할 때만 사칙연산이 통한다. 몫은 분모의 극한이 0이 아니어야 한다.

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