미분가능성과 연속의 관계

미적분1 · 미분 — x = a 에서 미분가능하면 그 점에서 연속. 하지만 연속이라고 미분가능한 것은 아니다 — 뾰족점(좌·우 미분계수가 다름)이나 수직접선에서는 연속이지만 미분 불가.

1. 직접 해보기

함수 f(x) = |x − a| + c 를 움직인다. 꺾이는 점 x = a 에서 좌미분계수 −1, 우미분계수 +1 로 서로 달라 미분이 안 되는 것을 확인하자.

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2. 관계 정리

명제	참·거짓
미분가능 ⇒ 연속	참
연속 ⇒ 미분가능	거짓 (반례: y = \|x\| 의 x = 0)
불연속 ⇒ 미분 불가능	참 (미분가능의 대우)
미분 불가능 ⇒ 불연속	거짓

3. 미분 불가능한 점

① 불연속점(끊김, 점 빠짐, 도약). ② 뾰족점 — 좌미분계수 ≠ 우미분계수 (예: |x|, 절댓값·최댓값 함수의 경계). ③ 수직접선 — 미분계수가 ±∞ (예: y = ∛x 의 x = 0). 미분계수 f′(a) = lim {f(a+h) − f(a)}/h 가 유한한 값으로 하나로 수렴해야 미분가능.

핵심 미분가능하면 반드시 연속, 그러나 연속이어도 뾰족점·수직접선에서는 미분이 안 된다.

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