롤의 정리와 평균값 정리

미적분1 · 미분 — f 가 [a, b] 에서 연속·(a, b) 에서 미분가능이면 f′(c) = {f(b) − f(a)} / (b − a) 인 c 가 (a, b) 에 존재(평균값 정리). f(a) = f(b) 인 특수한 경우가 롤의 정리(f′(c) = 0).

1. 직접 해보기

구간 끝 a, b 를 움직인다. 두 끝을 이은 할선(분홍)과 평행한 접선(빨강)이 그어지는 점 c 를 관찰하자.

–

2. 두 정리

정리	조건	결론
롤의 정리	[a,b] 연속, (a,b) 미분가능, f(a) = f(b)	f′(c) = 0 인 c ∈ (a, b) 존재
평균값 정리	[a,b] 연속, (a,b) 미분가능	f′(c) = {f(b)−f(a)}/(b−a) 인 c 존재

3. 따름 결과

구간에서 f′(x) = 0 이면 f는 상수함수. f′(x) > 0 이면 증가, f′(x) < 0 이면 감소. 두 함수의 도함수가 같으면 두 함수는 상수만큼 차이. 이 사실들이 모두 평균값 정리에서 나온다.

핵심 평균값 정리: 두 끝점을 잇는 할선의 기울기와 같은 접선의 기울기를 갖는 점이 구간 안에 있다. f(a)=f(b) 면 롤의 정리.