미분계수와 도함수

미적분1 · 미분 — 구간 [a, b] 의 평균변화율(할선의 기울기)에서 b → a 로 보내면 한 점에서의 순간변화율 f′(a)(접선의 기울기)가 된다. 각 점의 f′(x) 를 모으면 새 함수 도함수 가 그려진다.

평균변화율 (f(b)−f(a))/(b−a) 는 두 점 (a, f(a)), (b, f(b)) 를 지나는 직선(할선)의 기울기다. 여기서 b = a + h 로 두고 h → 0 을 취한 극한이 미분계수 f′(a) 이고, 이 극한이 존재할 때 «x = a 에서 미분가능» 하다고 한다.

1. 직접 해보기

함수를 고르고 점 a 와 증분 h 를 조절해 보세요. 주황색 할선이 h 가 줄면서 초록색 접선에 포개집니다. 도함수 스캔 을 누르면 a 를 왼쪽부터 훑으며 아래 칸에 f′(x) 그래프가 그려집니다. |x| 프리셋으로 뾰족점에서 미분 불가 를 확인하세요.

점 a1.00

증분 h1.500

평균변화율 (f(a+h)−f(a))/h

–

미분계수 f′(a)

–

오차 |평균변화율 − f′(a)|

–

접선의 방정식

–

h 를 줄이면 (현재 a 기준)

맨 아랫줄은 h → 0⁺, 그 다음은 h → 0⁻ 극한. 두 값이 같아야 f′(a) 가 존재한다.

2. 평균변화율 → 미분계수

평균변화율 = (f(b) − f(a)) / (b − a) = (f(a+h) − f(a)) / h (b = a + h)

f′(a) = lim_h→0 (f(a+h) − f(a)) / h = lim_x→a (f(x) − f(a)) / (x − a)

f′(a) 는 a 에서의 순간변화율이자 그래프의 접선의 기울기다. 예를 들어 f(x) = x² 이면

((a+h)² − a²)/h = (2ah + h²)/h = 2a + h → 2a

이므로 f′(a) = 2a. 위젯에서 a 를 바꾸며 초록 접선의 기울기가 2a 로 변하는지 보자.

3. 미분계수에서 도함수로

f′(a) 는 한 점의 값이다. a 를 변수 x 로 바꿔 «각 점의 접선 기울기»를 통째로 대응시키면 새 함수 도함수 f′(x) 가 된다.

f′(x) = lim_h→0 (f(x+h) − f(x)) / h

f(x)	f′(x)	도함수를 구하는 규칙
c (상수)	0	상수함수의 도함수는 0
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	지수를 앞으로 내리고 지수를 1 줄인다
k·f(x)	k·f′(x)	상수배는 그대로 통과
f ± g	f′ ± g′	항별로 미분

예: f(x) = ⅓x³ − x → f′(x) = x² − 1. 위젯의 «도함수 스캔»을 누르면 아래 칸에 y = x² − 1 이 그대로 그려진다.

4. 미분가능성 — 연속이어도 미분은 안 될 수 있다

우미분계수 lim_h→0⁺ ... = 좌미분계수 lim_h→0⁻ ... 일 때만 f′(a) 존재

f(x) = |x| 의 x = 0. 오른쪽에서 오면 할선 기울기가 +1, 왼쪽에서 오면 −1. 한 값으로 모이지 않으므로 f′(0) 이 없다. 그래프가 뾰족하게 꺾인 점, 불연속점, 수직 접선을 갖는 점에서는 미분할 수 없다. 반대로 미분가능 ⇒ 연속 은 항상 성립한다.

f(x) = x·|x| 는 x = 0 에서 좌·우 미분계수가 모두 0 으로 같아 미분가능하다(f′(x) = 2|x|). 겉보기와 달리 «부드럽게» 이어져 있기 때문이다.

한 줄 요약 — 평균변화율에서 h → 0 을 취한 극한이 미분계수 f′(a), 곧 접선의 기울기다. 좌·우 미분계수가 같아야 존재하며, 각 점의 f′(x) 를 모은 것이 도함수다.

관련: 할선에서 접선으로 · 도함수 그래프 · 극한 탐험기