부등식의 증명 (도함수의 활용)

미적분1 · 미분 — 구간에서 f(x) ≥ g(x) 를 보이려면 h(x) = f(x) − g(x) 를 만들고, h′(x) 로 증감을 조사해 h의 최솟값 ≥ 0 임을 보인다.

1. 직접 해보기

h(x) = x³ − 3x + t (x ≥ 0 에서 x³ ≥ 3x − t 를 보이는 상황) 에서 t 를 조절한다. x ≥ 0 에서 h 의 최솟값(초록 점)이 0 이상이면 부등식이 성립한다.

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2. 증명 순서

단계	내용
① 차 함수	h(x) = (좌변) − (우변)
② 도함수·증감	h′(x) 의 부호로 증가·감소, 극값
③ 최솟값	주어진 구간에서 h 의 최솟값을 구함
④ 결론	(최솟값) ≥ 0 이면 h(x) ≥ 0, 곧 부등식 성립

3. 경계·끝점 주의

구간이 닫혀 있으면 끝점의 값도 후보. 반직선(x ≥ a)이면 x → ∞ 에서 h → +∞ 인지 확인. 등호 성립 여부는 h(x) = 0 이 되는 x 가 구간 안에 있는지로 판단. x > 0 에서 성립을 물으면 최솟값이 0이어도 (그 점이 포함 안 되면) 순부등식이 될 수 있다.

핵심 f ≥ g 증명은 h = f − g 의 증감을 조사해 구간에서 h의 최솟값이 0 이상임을 보이는 것.