정적분으로 정의된 함수

미적분1 · 적분 — 아래끝 상수 a, 위끝 변수 x 인 g(x) = ∫ₐˣ f(t) dt 는 x 의 함수다. 미적분의 기본정리로 g′(x) = f(x), 그리고 g(a) = 0.

1. 직접 해보기

아래끝 a 를 움직인다. g(x) = ∫ₐˣ (t − 1) dt 는 파랑, 그 도함수 g′(x) = x − 1 은 분홍. g 의 접선 기울기가 항상 x − 1 (분홍 값)과 같은지 보자. g(a) = 0 도 확인.

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‘∫₀ˣ f(t) dt = x² + ax’ 같은 식이 주어지면 양변 미분 → f(x) = 2x + a, x = 0 대입 → 0 = 0 (또는 상수 결정). ‘∫ₐˣ f(t) dt 의 최솟값’ 은 f(x) = 0 이 되는 x를 찾아 증감표를 그린다.

핵심 위끝이 변수인 정적분은 x의 함수이고, 그 도함수는 피적분함수 자신, x = 아래끝에서 값이 0이다.