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도함수 그래프와 함수의 증감
미적분1 · 미분 | 접선의 기울기를 x축을 따라 훑으면, 그 값들이 모여 또 하나의 함수 그래프가 된다.
원함수 f(x)의 각 점에서 접선을 그으면 기울기 하나가 나온다. 이 기울기를 x에 대응시켜 모으면
도함수 f′(x)의 그래프가 완성된다. 이 그래프의 부호만 봐도 원함수가 어디서 오르고 내리는지,
어디서 봉우리(극대)와 골짜기(극소)를 만드는지 전부 읽어낼 수 있다. 아래에서 접선을 직접 스캔해 f′(x)를 그려 보자.
함수를 고르고 스캔 시작을 누르면 위 그래프의 접선(노란 선)이 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하며,
그 순간의 기울기가 아래 그래프에 점으로 찍힌다. x 슬라이더로 직접 위치를 옮길 수도 있다.
f′(x)=0인 곳에는 세로 안내선이 서고, f′>0 구간은 초록(증가),
f′<0 구간은 빨강(감소)으로 칠해진다.
어떤 구간에서 f′(x) > 0이면 접선이 오른쪽 위를 향하므로 함수는 그 구간에서 증가한다.
반대로 f′(x) < 0이면 감소한다. 그래서 도함수 그래프가 x축 위에 있는 구간 = 원함수가 증가하는 구간이다.
| f′(x) 부호 | 접선 방향 | f(x) 의 증감 |
|---|---|---|
| + | ↗ 오른쪽 위 | 증가 |
| 0 | → 수평 | 증가·감소가 바뀌는 후보 (정류점) |
| − | ↘ 오른쪽 아래 | 감소 |
f′(a) = 0이라고 해서 반드시 극값은 아니다. f(x) = x³은 x = 0에서 f′ = 0이지만
좌우 모두 f′ > 0이라 계속 증가한다. 극값이 되려면 f′의 부호가 실제로 바뀌어야 한다.
1계 도함수 판정법: f′(a) = 0인 점 a의 좌우에서 f′의 부호를 본다.
2계 도함수 판정법: f′(a) = 0이고 f″(a)의 부호를 알면 더 빠르다.
예를 들어 f(x) = x³ − 3x는 f′(x) = 3x² − 3 = 3(x−1)(x+1)이므로 x = ±1이 후보다.
f″(x) = 6x이니 f″(−1) = −6 < 0 → x = −1에서 극대(f = 2),
f″(1) = 6 > 0 → x = 1에서 극소(f = −2).
(단, f″(a) = 0이면 2계 판정법은 결론을 못 내리고 1계 판정법으로 돌아가야 한다.)
f″(x)는 접선 기울기(f′)가 어떻게 변하는지를 알려준다.
f″(x) > 0이면 기울기가 점점 커져 곡선이 아래로 볼록(∪ 모양),
f″(x) < 0이면 위로 볼록(∩ 모양)이다.
f(x) = x³ − 3x에서 f″(x) = 6x는 x = 0에서 부호가 −에서 +로 바뀌므로
(0, 0)이 변곡점이다. 위젯에서 f″ 표시를 켜면 위 그래프에 변곡점 세로선이, 아래 그래프에 f″(x) 곡선이 함께 나타난다.
구한 정보를 한 표에 정리하면 그래프 개형이 바로 보인다. f(x) = x³ − 3x의 증감표:
| x | ··· | −1 | ··· | 1 | ··· |
|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↗ | 극대 2 | ↘ | 극소 −2 | ↗ |
순서는 ① f′(x) = 0 푸는 값으로 구간을 나눈다 → ② 각 구간에서 f′ 부호를 조사한다 →
③ 부호에 따라 ↗ / ↘를 적고 극대·극소를 표시한다 → ④ 필요하면 f″ 행을 추가해 오목·볼록과 변곡점까지 넣는다.
f′(x)의 부호가 증감을, f′(x)=0에서의 부호 변화가 극대·극소를,
f″(x)의 부호가 오목·볼록을, f″(x)=0에서의 부호 변화가 변곡점을 결정한다.
도함수 그래프 한 장에 원함수의 모양이 전부 담겨 있다.