속도와 가속도

미적분1 · 미분(속도·가속도) — 수직선 위를 움직이는 점의 위치가 x(t) 일 때, 속도는 v(t) = x′(t), 가속도는 a(t) = v′(t) = x″(t). 위치를 시간으로 미분한 것이다.

«얼마나 이동했나»(위치)를 시간으로 미분하면 «얼마나 빨리 위치가 변하나»(속도)가 되고, 속도를 다시 미분하면 «얼마나 빨리 속도가 변하나»(가속도)가 된다. 속도의 부호는 운동 방향을, 속도와 가속도의 부호 관계는 빨라지는지(가속) 느려지는지(감속)를 알려 준다.

1. 직접 해보기

계수 슬라이더로 위치 x(t) 를 정하고 재생을 누르면 위쪽 수직선 위의 점이 움직입니다. 아래 x-t, v-t, a-t 세 그래프에 세로 시간선이 함께 지나갑니다. v = 0 인 순간(운동 방향 전환)은 주황 점으로 표시됩니다.

t³ 계수 p0.0

t² 계수 q-1.0

t¹ 계수 r4.0

–

시각 t

0.00

위치 x(t)

–

속도 v(t)

–

가속도 a(t)

–

시각 t 수동 조절0.00

운동 상태

–

2. 위치 → 속도 → 가속도

v(t) = dx/dt = x′(t) | a(t) = dv/dt = v′(t) = x″(t)

예: x(t) = −t² + 4t (위로 던진 물체, 위쪽을 양의 방향으로) 이면

v(t) = x′(t) = −2t + 4 | a(t) = v′(t) = −2 (일정)

v(t) = 0 은 t = 2 일 때. 이 순간 물체는 «가장 높은 곳»에서 순간적으로 멈추고 방향을 바꾼다. t < 2 면 v > 0(올라감), t > 2 면 v < 0(내려옴).

3. 부호로 읽는 운동

양	부호	의미
속도 v(t)	v > 0	수직선의 양의 방향(오른쪽/위)으로 이동
속도 v(t)	v < 0	음의 방향(왼쪽/아래)으로 이동
v(t) = 0	v = 0	순간적으로 정지 — 보통 이 순간 운동 방향이 바뀐다
v 와 a 의 관계	v·a > 0 (같은 부호)	속력이 커진다 → 가속
v 와 a 의 관계	v·a < 0 (다른 부호)	속력이 작아진다 → 감속

«가속도가 음수 = 느려진다» 가 아니다. 느려지는지 빨라지는지는 v 와 a 의 부호가 같은지 로 정해진다. 예를 들어 왼쪽으로 점점 빠르게 가면 v < 0, a < 0 이라 v·a > 0 → 가속이다.

4. 움직인 거리와 이동 거리

위치의 변화(변위)는 x(b) − x(a) 로 부호가 있다. 실제로 움직인 거리는 v(t) 의 부호가 바뀔 때마다 구간을 끊어서 |Δx| 를 더해야 한다. 방향을 바꾸는 지점(v = 0)을 놓치면 거리를 잘못 계산한다.

시각 a 부터 b 까지 실제 이동 거리 = ∫_a^b |v(t)| dt

한 줄 요약 — 위치를 시간으로 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도. v 의 부호 = 운동 방향, v·a 의 부호 = 가속(+)/감속(−), v = 0 인 순간이 방향 전환점이다.

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