함수의 증가·감소와 극값

미적분1 · 미분(도함수의 활용) — f′(x) > 0 인 구간에서 증가, f′(x) < 0 인 구간에서 감소. f′(x) = 0 이면서 부호가 바뀌는 곳이 극대·극소 다.

도함수 f′(x) 는 각 점의 접선 기울기다. 기울기가 양수면 그래프가 «오른쪽 위», 음수면 «오른쪽 아래». 그래서 f′ 의 부호만 조사하면 원함수의 오르내림을 전부 알 수 있고, f′ 의 x절편이 원함수의 극값 후보가 된다.

1. 직접 해보기

차수(삼차/사차)를 고르고 계수 슬라이더를 움직이면 위쪽에 f(x), 아래쪽에 f′(x) 가 x축을 맞춰 그려집니다. f′ > 0 구간은 초록(증가), f′ < 0 구간은 빨강(감소)으로 칠해지고, f′ = 0 인 점에서 극대(▲)·극소(▼)가 표시됩니다. 증감표도 자동으로 만들어집니다.

계수 a1.0

계수 b0.0

계수 c0.0

–

f′(x) = 0 인 x

–

극대

–

극소

–

증감표

2. 증가·감소 판정

어떤 구간에서 x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) 이면 그 구간에서 증가, x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂) 이면 감소 라 한다. 미분가능한 함수에서는:

구간에서	원함수 f	그래프 모양
f′(x) > 0	증가	오른쪽으로 갈수록 올라감
f′(x) < 0	감소	오른쪽으로 갈수록 내려감
f′(x) = 0	순간적으로 평평	극값 후보 또는 정지점

주의 — f′(x) = 0 이라고 무조건 극값은 아니다. f(x) = x³ 은 f′(0) = 0 이지만 x = 0 좌우에서 f′ 가 계속 양수(부호 안 바뀜)라 극값이 아니다. «f′ = 0 + f′ 의 부호가 바뀜» 이어야 극값이다.

3. 극대·극소

x = c 근처에서 f′ 의 부호	c 에서	뜻
+ → 0 → −	극대	증가하다 감소로 바뀜, f(c) 는 주변에서 가장 큼
− → 0 → +	극소	감소하다 증가로 바뀜, f(c) 는 주변에서 가장 작음
+ → 0 → + (또는 − → 0 → −)	극값 아님	부호가 안 바뀜

이계도함수 판정법도 있다. f′(c) = 0 이고 f″(c) < 0 이면 극대, f″(c) > 0 이면 극소. (f″(c) = 0 이면 이 방법으로는 판정 불가, 부호 조사로 돌아간다.)

삼차함수 f(x) = ax³ + ⋯ : f′(x) 는 이차식 → 판별식 D > 0 이면 극값 2개, D = 0 이면 변곡점(극값 0), D < 0 이면 극값 없음(항상 증가 또는 감소)

4. 도함수 그래프 ↔ 원함수 극값

아래쪽 f′(x) 그래프의 x절편이 위쪽 f(x) 의 극값 위치와 정확히 세로로 겹친다. f′ 가 x축을 위 → 아래 로 통과하면 그 자리에서 f 는 극대, 아래 → 위 면 극소다. 위젯에서 계수를 바꿔 두 그래프가 함께 변하는 모습을 관찰하자.

한 줄 요약 — f′ > 0 ⇒ 증가, f′ < 0 ⇒ 감소. f′ = 0 이면서 f′ 의 부호가 «+→−» 면 극대, «−→+» 면 극소. 증감표로 정리한다.

관련: 도함수 그래프 · 최적화 문제 · 할선에서 접선으로