함수의 극한과 연속

미적분1 · 극한  |  어떤 점에 "한없이 가까이" 다가갈 때 함숫값은 어디로 모일까? 그리고 그 값이 실제 함숫값과 같을까?

극한은 미적분 전체의 출발점이다. 우리는 어떤 점 x = a에서의 함숫값 f(a)가 아니라, x가 a에 한없이 다가갈 때 f(x)가 다가가는 값에 관심을 둔다. 이 둘이 항상 같지는 않다는 게 핵심이다. 아래 위젯에서 여러 종류의 불연속점을 골라 x를 왼쪽·오른쪽에서 a로 밀어 넣으며 함숫값이 어디로 향하는지 직접 관찰해 보자.

1. 직접 해보기

함수를 고르고 접근 방향(왼쪽 / 오른쪽 / 양쪽)을 정한 뒤, 슬라이더를 오른쪽으로 밀어 x를 목표점 a에 가깝게 만들어 보자. 캔버스에 접근하는 점이 찍히고, 아래 표의 함숫값 f(a ± 0.1), f(a ± 0.01), … 이 실시간으로 갱신된다. 빈 원은 그 점에서 함숫값이 없거나 다르다는 뜻, 채운 초록 원은 실제 f(a) 값이다.

2. 극한의 정의 — 직관적으로

x가 a와 다른 값을 가지면서 a에 한없이 가까워질 때, f(x)가 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 이렇게 쓴다.

중요한 건 x = a일 때의 값은 따지지 않는다는 점이다. sin x / x는 x = 0에서 아예 정의되지 않지만 x → 0일 때 1로 다가가므로 극한값은 1이다. "그 점에서 어떤 값인가"가 아니라 "그 점 근처에서 어디로 향하는가"를 보는 도구가 극한이다.

3. 좌극한 = 우극한 ⇔ 극한 존재

x가 a보다 작은 쪽에서만 다가갈 때의 극한을 좌극한, 큰 쪽에서만 다가갈 때의 극한을 우극한이라 한다.

극한 limx→a f(x)가 존재할 필요충분조건은 좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같은 것이다.

위젯의 계단함수는 좌극한이 2, 우극한이 3으로 서로 달라 극한이 없다(점프 불연속). 1/(x−1)은 왼쪽에서 −∞, 오른쪽에서 +∞로 발산하여 좌·우극한 자체가 없다(무한 불연속). sin(1/x)는 0 근처에서 −1과 1 사이를 무한히 오가므로 어느 한 값에도 모이지 않는다(진동).

4. 연속의 3조건

함수 f가 x = a에서 연속이라는 것은 다음 세 조건을 모두 만족한다는 뜻이다.

세 조건 중 하나라도 깨지면 x = a에서 불연속이다. 위젯의 여섯 예시가 각각 다른 방식으로 조건을 어긴다.

제거가능 불연속은 이름 그대로다. (x²−1)/(x−1) = x + 1 (x ≠ 1)이므로 극한값은 2. 여기에 f(1) = 2라고 한 점만 채워 정의하면 연속함수가 된다. 극한이 존재하는데 함숫값만 어긋난(또는 빠진) 경우다.

5. 극한의 성질

limx→a f(x) = L, limx→a g(x) = M일 때(둘 다 존재), 다음이 성립한다.

이 성질들 덕분에 다항함수는 모든 점에서 limx→a f(x) = f(a)가 되어 어디서나 연속이고, 유리함수·삼각함수 등도 정의역 안에서는 연속이다. 불연속은 분모가 0이 되거나 함수 정의가 조각으로 갈라지는 특별한 점에서만 생긴다.

6. 샌드위치 정리 (조임 정리)

a 근처에서 g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)가 항상 성립하고, 양쪽을 감싸는 두 함수가 같은 값으로 모이면 — 즉 limx→a g(x) = limx→a h(x) = L이면 — 가운데 낀 f(x)도 달아날 곳이 없어 limx→a f(x) = L이 된다. 대표적인 활용이 limx→0 x · sin(1/x) = 0이다. sin(1/x)는 0에서 미친 듯이 진동하지만 −|x| ≤ x·sin(1/x) ≤ |x|이고 양 끝 ±|x|가 모두 0으로 가므로, 가운데 값도 0으로 조여진다. 진동하는 함수의 극한을 직접 계산하기 어려울 때 위아래로 더 다루기 쉬운 함수로 가두는 전략이다.