극한값의 계산

미적분1 · 함수의 극한과 연속 — 그냥 대입하면 0/0, ∞/∞, ∞−∞ 처럼 «값을 정할 수 없는 꼴»(부정형)이 나올 때, 식을 변형해서 극한값을 찾아낸다. 좌·우에서 x 를 a 로 접근시키며 함숫값이 한 값으로 모이는지 눈으로 확인하자.

극한 lim_x→a f(x) 는 «x = a 에서의 함숫값»이 아니라 «x 가 a 에 한없이 가까워질 때 f(x) 가 다가가는 값»이다. 그래서 x = a 에서 함수가 정의되지 않아도(그래프에 구멍이 뚫려 있어도) 극한은 존재할 수 있다.

1. 직접 해보기

아래 프리셋으로 함수를 고르고, 접근 간격 δ 슬라이더를 왼쪽으로 밀어 x = a ± δ 를 a 에 붙여 보세요. 파란 점(왼쪽에서 접근)과 보라 점(오른쪽에서 접근)이 같은 높이로 모이면 극한이 존재합니다. ∞ 프리셋에서는 x 를 크게 키우며 점근선으로 다가가는 모습을 봅니다.

접근 간격 δ2.000

x 크게 (∞ 프리셋용) M10

좌극한 근사 f(a−δ)

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우극한 근사 f(a+δ)

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극한값 L

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오차 |근사 − L|

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함숫값 표 — x 를 a 에 접근시키면

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2. 부정형별 해결 전략

대입했을 때 아래 «부정형»이 나오면 그 자체로는 극한값이 아니다. 식을 약분·유리화·나누기로 바꿔서 대입 가능한 꼴로 만든 뒤 극한을 구한다.

꼴	상황	해결 방법
0 / 0	분자·분모가 함께 0 (x→a)	분자·분모를 인수분해해 (x−a) 약분. 무리식이면 유리화(켤레 곱하기)
∞ / ∞	다항식/다항식 (x→∞)	분자·분모를 최고차항으로 나눈다. 차수 비교: (분자차수 < 분모) → 0, (같음) → 최고차항 계수비, (분자 > 분모) → ±∞
∞ − ∞	무리식의 차 (x→∞)	켤레를 곱하고 나눠 ∞/∞ 꼴로 바꾼 뒤 나누기
∞ × 0	두 인수의 곱	한쪽을 분모로 내려 0/0 또는 ∞/∞ 로

예 1 — 0/0, 인수분해

lim_x→1 (x²−1)/(x−1) = lim_x→1 (x−1)(x+1)/(x−1) = lim_x→1 (x+1) = 2

x ≠ 1 일 때만 약분하는 것이고, 극한은 x ≠ 1 인 값들만 보므로 문제없다. 원래 함수 y = (x²−1)/(x−1) 의 그래프는 직선 y = x+1 에서 점 (1, 2) 만 구멍이 뚫린 모양이다.

예 2 — 0/0, 유리화

lim_x→1 (√(x+3)−2)/(x−1) = lim_x→1 (x−1) / {(x−1)(√(x+3)+2)} = lim_x→1 1/(√(x+3)+2) = 1/4

분자 √(x+3)−2 에 켤레 √(x+3)+2 를 분자·분모에 함께 곱하면 분자가 (x+3)−4 = x−1 이 되어 약분된다.

예 3 — ∞/∞, 최고차항으로 나누기

lim_x→∞ (2x²−x+1)/(x²+3) = lim_x→∞ (2 − 1/x + 1/x²)/(1 + 3/x²) = 2/1 = 2

분자·분모를 x² 으로 나누면 1/x, 1/x² → 0. 남는 것은 최고차항 계수의 비 2/1.

예 4 — ∞−∞, 켤레 곱하기

lim_x→∞ (√(x²+2x) − x) = lim_x→∞ 2x / (√(x²+2x) + x) = lim_x→∞ 2 / (√(1+2/x) + 1) = 2/2 = 1

3. 극한이 «존재한다»는 것

lim_x→a f(x) = L ⇔ lim_x→a⁻ f(x) = lim_x→a⁺ f(x) = L

좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같을 때에만 극한이 존재한다. 하나라도 없거나 둘이 다르면 극한은 없다.

|x|/x 는 왜 극한이 없나? x→0⁺ 이면 |x|/x = x/x = 1, x→0⁻ 이면 |x|/x = −x/x = −1. 좌극한 −1 과 우극한 1 이 다르므로 lim_x→0 |x|/x 는 존재하지 않는다. 위 위젯의 마지막 프리셋에서 두 점이 서로 다른 높이로 갈라지는 걸 확인해 보자.

극한과 함숫값은 별개. lim_x→a f(x) 가 존재해도 f(a) 와 같을 필요는 없고, f(a) 가 아예 정의되지 않아도 된다. 둘이 «존재하고 같을» 때 f 는 x = a 에서 연속이다.

한 줄 요약 — 대입해서 0/0 이면 인수분해·유리화로 (x−a) 를 약분, ∞/∞ 면 최고차항으로 나누기, ∞−∞ 면 켤레를 곱해 ∞/∞ 로 바꾼다. 극한은 좌극한 = 우극한일 때만 존재한다.

관련: 극한 탐험기 · 할선에서 접선으로 · 도함수 그래프