이항정리와 파스칼의 삼각형

공통수학1 · 여러 가지 수와 식 / 경우의 수 — (a + b)ⁿ 을 전개하면 각 항의 계수가 ⁿCᵣ 이고, 이 계수들을 쌓아 놓은 것이 파스칼의 삼각형이다.

1. 직접 해보기

n 슬라이더로 파스칼의 삼각형이 자라나고, r 슬라이더로 특정 항을 골라 ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ 을 확인합니다. 아래 «성질» 칩으로 대칭성 · 계수의 합 · 하키스틱 · 파스칼 규칙을 강조해 볼 수 있습니다.

고른 항 ⁿCᵣ 대칭성 ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ 행의 합 = 2ⁿ 하키스틱 정리 파스칼 규칙

지수 n 5

항의 위치 r (0 ~ n) 2

고른 계수 ⁿCᵣ

–

일반항 T(r+1)

–

계수의 합 2ⁿ

–

항의 개수 n+1

–

2. 이항정리

(a + b)ⁿ = Σ (r = 0 → n) ⁿCᵣ · aⁿ⁻ʳ · bʳ

= ⁿC₀ aⁿ + ⁿC₁ aⁿ⁻¹b + ⁿC₂ aⁿ⁻²b² + ⋯ + ⁿCₙ bⁿ

(a + b)ⁿ = (a+b)(a+b)⋯(a+b) 를 전개할 때, n 개의 괄호에서 b 를 r 번 고르고 나머지에서 a 를 고르는 경우의 수가 ⁿCᵣ 이다. 그래서 aⁿ⁻ʳbʳ 의 계수가 ⁿCᵣ 다.

일반항 (앞에서부터 r+1 번째 항):

T(r+1) = ⁿCᵣ · aⁿ⁻ʳ · bʳ

ⁿCᵣ = n! / { r!(n−r)! }. 이 값을 이항계수라 한다. «xᵏ 의 계수를 구하라» 같은 문제는 일반항에서 x 의 지수가 k 가 되는 r 를 찾으면 된다.

3. 파스칼의 삼각형

이항계수를 n = 0 행부터 차례로 쌓으면 삼각형이 된다. 각 수는 바로 위 두 수의 합이다.

ⁿCᵣ = ⁿ⁻¹Cᵣ₋₁ + ⁿ⁻¹Cᵣ (파스칼의 법칙)

n	행	행의 합
0	1	1 = 2⁰
1	1 1	2 = 2¹
2	1 2 1	4 = 2²
3	1 3 3 1	8 = 2³
4	1 4 6 4 1	16 = 2⁴

4. 이항계수의 성질

성질	식	대입
대칭성	ⁿCᵣ = ⁿCₙ₋ᵣ	왼쪽·오른쪽이 거울상
모든 계수의 합	ⁿC₀ + ⁿC₁ + ⋯ + ⁿCₙ = 2ⁿ	a = b = 1
교대합	ⁿC₀ − ⁿC₁ + ⋯ ± ⁿCₙ = 0	a = 1, b = −1
하키스틱	ʳCᵣ + ʳ⁺¹Cᵣ + ⋯ + ⁿCᵣ = ⁿ⁺¹Cᵣ₊₁	대각선 합 = 그 아래 한 칸

a = b = 1 을 대입하면 (1 + 1)ⁿ = Σ ⁿCᵣ, 즉 한 행의 수를 모두 더하면 2ⁿ. 이것은 «원소가 n 개인 집합의 부분집합의 개수»가 2ⁿ 인 것과 같은 사실이다 (각 원소를 넣을지 말지 2가지).

한 줄 요약 — (a+b)ⁿ = Σ ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ, 일반항 T(r+1) = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ. 계수 ⁿCᵣ 를 쌓은 것이 파스칼의 삼각형이고, 각 수는 위 두 수의 합, 한 행의 합은 2ⁿ.

관련: 순열과 조합 · 나머지정리와 조립제법 · 다항식의 인수분해