이차방정식의 판별식과 근

공통수학1 · 방정식과 부등식 — 이차방정식 ax² + bx + c = 0 의 근이 어떤 모습인지는 판별식 D = b² − 4ac 의 부호 하나로 결정된다. 포물선이 x축과 몇 번 만나는지가 곧 실근의 개수다.

1. 직접 해보기

a, b, c 슬라이더로 포물선 y = ax² + bx + c 를 움직여 보세요. 왼쪽은 실제 그래프와 x축 교점, 오른쪽은 복소평면에 찍힌 두 근입니다. D < 0 이 되면 근이 x축을 떠나 켤레 허근 쌍으로 나타납니다.

a (≠ 0) 1.0

b -5.0

c 6.0

판별식 D = b²−4ac

–

두 근

–

두 근의 합 −b/a

–

두 근의 곱 c/a

–

2. 근의 공식과 판별식

ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) 의 근은 완전제곱식으로 정리하면 다음과 같다.

x = ( −b ± √(b² − 4ac) ) / (2a)

근호 안의 값 b² − 4ac 를 판별식이라 하고 D 로 쓴다. D의 부호가 √D 를 실수로 만들 수 있는지를 가른다.

판별식	근의 종류	x축과의 관계
D > 0	서로 다른 두 실근	서로 다른 두 점에서 만난다
D = 0	중근 (한 실근)	한 점에서 접한다 (꼭짓점이 x축 위)
D < 0	서로 다른 두 허근 (켤레쌍)	만나지 않는다

허근은 왜 켤레쌍인가 — D < 0 이면 √D = √(−D)·i 이므로 x = −b/(2a) ± ( √(−D) / (2a) ) i. 실수부는 같고 허수부의 부호만 반대 → 두 근은 서로 켤레복소수다. (실수 계수 방정식의 허근에 대한 일반적인 성질)

3. 근과 계수의 관계

두 근을 α, β 라 하면 ax² + bx + c = a(x − α)(x − β) 를 전개해 계수를 비교하여

α + β = −b/a α·β = c/a

이 관계는 D < 0 인 허근일 때도 그대로 성립한다(합·곱은 언제나 실수). 거꾸로 합이 p, 곱이 q 인 두 수를 근으로 하는 이차방정식은 x² − px + q = 0 이다.

이차방정식	두 근의 합	두 근의 곱
x² − 5x + 6 = 0	5	6
2x² + 3x − 1 = 0	−3/2	−1/2
x² + x + 1 = 0	−1	1

4. 이차식의 완전제곱 · 꼭짓점

y = ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + (4ac − b²)/(4a). 꼭짓점의 x좌표는 −b/2a, y좌표는 −D/(4a) 이다. 그래서 D = 0 이면 꼭짓점 y좌표가 0, 즉 꼭짓점이 x축에 놓여 «접한다».

한 줄 요약 — D = b² − 4ac. D > 0 두 실근, D = 0 중근, D < 0 켤레 허근 쌍. x축과의 교점 개수 = 실근 개수. 근과 계수의 관계 α+β = −b/a, αβ = c/a 는 허근에서도 성립.

관련: 이차함수 그래프 탐험기 · 복소수와 켤레복소수 · 부등식의 영역