행렬과 평면의 일차변환

공통수학1 · 행렬 — 2×2 행렬 하나는 사실 좌표평면 전체를 늘이고 기울이고 돌리고 뒤집는 규칙이다. 네 숫자 a, b, c, d 를 움직이면 격자와 도형이 어떻게 변하는지, 행렬식·역행렬·행렬 곱이 그림에서 무슨 뜻인지 직접 보자.

행렬 [[a, b], [c, d]] 는 점 (x, y) 를 (ax + by, cx + dy) 로 보낸다. 이때 i = (1, 0) 은 (a, c) 로, j = (0, 1) 은 (b, d) 로 간다. 즉 행렬의 두 열이 곧 변환된 기저벡터다.

1. 직접 해보기 — 네 숫자로 평면을 주무르기

슬라이더로 행렬의 네 성분을 바꾸면 즉시 격자와 집 모양 도형, 그리고 기저벡터 화살표가 변환된다. 흐린 파랑은 변환 전, 선명한 보라는 변환 후다. 프리셋 버튼으로 대표적인 변환도 걸어 볼 수 있다.

a (i_x)1.00

b (j_x)0.00

c (i_y)0.00

d (j_y)1.00

회전각 θ 0°

변환 전 격자·도형변환 후 도형 i → (a, c)j → (b, d)

행렬식 det = ad − bc

1.00

넓이 배율 |det|

1.00

방향

유지

i 벡터 방향각

0°

|i| 확대율

1.00

|j| 확대율

1.00

역행렬 M⁻¹ = 1/det · [[d, −b], [−c, a]]

–

2. 행렬 곱 = 변환 합성 (순서가 중요하다)

행렬 두 개를 곱한다는 것은 변환을 이어서 적용한다는 뜻이다. M₂M₁ 은 "먼저 M₁ 을 적용하고, 그 결과에 M₂ 를 적용"한다. 아래에서 M₁, M₂ 를 골라 집 모양이 두 단계로 변해가는 걸 보자. M₂M₁ 과 M₁M₂ 는 대체로 다르다.

M₁:

M₂:

원본M₁ 적용 후M₂M₁ 적용 후

= M₂M₁ ≠ M₁M₂ =

3. 행렬의 연산 — 덧셈·곱셈·거듭제곱

덧셈은 같은 자리끼리 더하면 끝이다. 곱셈은 "앞 행렬의 행 × 뒤 행렬의 열"로, 변환의 합성에 대응한다.

[[a, b], [c, d]] · [[p, q], [r, s]] = [[ap + br, aq + bs], [cp + dr, cq + ds]]

거듭제곱 Mⁿ 은 같은 변환을 n번 반복하는 것이다. 예를 들어 30° 회전행렬 R 에 대해 R³ 은 90° 회전, R¹² 은 360° 회전이라 항등행렬 I 로 돌아온다.

연산	규칙	변환에서의 뜻
A + B	성분별 덧셈	두 변환의 벡터 합 (합성 아님)
kA	모든 성분 ×k	변환 결과를 k배로 늘리기
AB	행 × 열	B를 먼저, A를 나중에 적용한 합성
Aⁿ	A를 n번 곱함	같은 변환 n회 반복
I = [[1,0],[0,1]]	항등원	아무것도 안 하는 변환 (AI = IA = A)

수의 곱셈과 달리 행렬 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다(AB ≠ BA). 하지만 결합법칙 (AB)C = A(BC) 과 분배법칙 A(B + C) = AB + AC 은 성립한다. 1번 위젯에서 "회전 후 전단"과 "전단 후 회전"을 비교해 보면 확실히 다르다.

4. 행렬식의 뜻과 역행렬

행렬식 det M = ad − bc 는 변환이 넓이를 몇 배로 만드는지를 나타낸다. 1번 위젯에서 단위정사각형(넓이 1)이 만드는 평행사변형의 넓이가 바로 |det| 다.

det > 0 : 방향(시계/반시계) 유지
det < 0 : 좌우가 뒤집힘 (거울 반사 포함)
det = 0 : 평면이 선이나 점으로 찌부러짐 → 되돌릴 수 없음 (역행렬 없음)

det ≠ 0 이면 역행렬이 존재하고, 원래대로 되돌리는 변환이다.

M⁻¹ = 1/(ad − bc) · [[d, −b], [−c, a]] , M M⁻¹ = M⁻¹ M = I

5. 연립일차방정식과 행렬

연립일차방정식은 행렬 하나로 압축된다.

{ ax + by = p
cx + dy = q ⟺ [[a, b], [c, d]] [x, y]ᵀ = [p, q]ᵀ

이때 det M ≠ 0 이면 양변에 M⁻¹ 을 곱해 해가 딱 하나 나온다.

[x, y]ᵀ = M⁻¹ [p, q]ᵀ

반대로 det M = 0 이면 두 직선이 평행(해 없음) 하거나 일치(해 무수히) 한다. 기하적으로는 변환이 평면을 한 직선으로 찌부러뜨려서, 목표점 (p, q) 가 그 직선 위에 있어야만 해가 생기는 것이다.

det M	변환의 모습	연립방정식의 해
≠ 0	평면 → 평면 (넓이만 \|det\|배)	유일해 (x, y) = M⁻¹(p, q)
= 0	평면 → 직선/점으로 붕괴	해 없음 또는 무수히 많음

한 줄 요약 — 2×2 행렬은 "i 를 (a, c) 로, j 를 (b, d) 로 보내라"는 좌표평면의 변형 규칙이다. 행렬 곱은 변환의 합성(순서 중요), 행렬식은 넓이 배율과 뒤집힘, 역행렬은 되돌리기이며 det = 0 이면 되돌릴 수 없고 연립방정식도 유일해를 잃는다.

평행이동과 대칭이동 단위원과 삼각함수 다항식과 인수분해