삼차·사차방정식
공통수학1 · 방정식과 부등식 — 삼차·사차방정식은 인수정리로 유리근 하나를 찾아
조립제법으로 차수를 낮추고, 남은 이차식을 근의 공식으로 푸는 것이 기본 전략이다.
그래프가 x축과 만나는 횟수가 실근의 개수다.
1. 직접 해보기
차수를 고르고 계수 슬라이더로 삼·사차함수를 만들면, 그래프의 x축 교점(실근)과
인수분해 형태, 유리근 후보가 실시간으로 계산됩니다.
3차방정식
4차방정식
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2. 푸는 전략
- 유리근 후보 나열 — 정수 계수일 때 유리근 p/q 는
p | (상수항), q | (최고차항 계수) 를 만족한다.
- 인수정리로 한 근 찾기 — 후보 중 P(a) = 0 인 a 를 찾는다.
- 조립제법으로 낮추기 — P(x) = (x − a)·Q(x), Q 의 차수는 1 낮다.
- 반복 — Q 가 이차식이 되면 근의 공식으로, 삼차면 다시 근 하나를 더 찾는다.
예 — x³ − 6x² + 11x − 6 = 0. 후보 ±1, ±2, ±3, ±6.
P(1) = 0 이므로 (x−1) 로 나누면 x² − 5x + 6,
이것은 (x−2)(x−3). 따라서 근은 1, 2, 3.
3. 근의 개수
| 차수 | 근의 총개수(복소수 포함, 중복도 포함) | 실근 |
|---|
| 삼차 | 3 | 1개 또는 3개 (허근은 켤레쌍이므로 0 또는 2개) |
| 사차 | 4 | 0, 2, 4개 (또는 중근 포함) |
켤레근 정리 — 계수가 모두 실수인 방정식이 허근 p + qi 를 가지면
그 켤레 p − qi 도 반드시 근이다. 그래서 실수 계수 방정식의 허근은 항상 짝수 개다.
4. 자주 쓰는 인수분해 공식
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) · a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
a⁴ − b⁴ = (a² − b²)(a² + b²) = (a − b)(a + b)(a² + b²)
예를 들어 x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1) 이고, x² + x + 1 = 0 은
판별식 D = 1 − 4 = −3 < 0 이므로 두 허근
x = (−1 ± √3 i)/2 를 갖는다. 실근은 x = 1 하나뿐이다.
x⁴ + ax² + b 처럼 짝수 차수만 있으면 t = x² 로 치환해
이차방정식으로 바꿔 푼다(복이차식).
한 줄 요약 — 삼·사차방정식은 «유리근 후보(p|상수, q|최고차) → 인수정리로 한 근 → 조립제법으로 차수 낮추기 → 남은 이차식은 근의 공식».
실근 개수는 그래프가 x축과 만나는 횟수, 허근은 켤레쌍으로 나온다.
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