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곱셈공식과 인수분해
공통수학1 · 다항식 — (a+b)² 을 외우지 말고 정사각형의 넓이로 보자.
한 변이 a+b 인 정사각형을 a 와 b 로 자르면 넓이가 a², ab, ab, b² 네 조각으로 나뉜다.
곱셈공식·인수분해·조립제법·나머지정리를 한 화면에서 직접 만져 본다.
슬라이더로 a, b 를 바꾸면 도형이 즉시 다시 그려진다. 드롭다운에서 공식을 고르면 (a+b)², (a−b)²,
(a+b)(a−b), (a+b)³ 의 분해가 색칠된 사각형(또는 정육면체 전개)으로 나타난다.
곱셈공식은 왼쪽에서 오른쪽으로 전개, 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 인수분해다. 같은 등식을 방향만 바꿔 쓰는 것이다.
| 곱셈공식 (전개 →) | ← 인수분해 |
|---|---|
(a+b)² = a² + 2ab + b² | a² + 2ab + b² = (a+b)² |
(a−b)² = a² − 2ab + b² | a² − 2ab + b² = (a−b)² |
(a+b)(a−b) = a² − b² | a² − b² = (a+b)(a−b) |
(x+a)(x+b) = x² + (a+b)x + ab | x² + (a+b)x + ab = (x+a)(x+b) |
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a+b)³ |
(a−b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = (a−b)³ |
(a+b)(a²−ab+b²) = a³ + b³ | a³ + b³ = (a+b)(a²−ab+b²) |
(a−b)(a²+ab+b²) = a³ − b³ | a³ − b³ = (a−b)(a²+ab+b²) |
(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2ab+2bc+2ca | a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca = (a+b+c)² |
합 a+b 와 곱 ab 만 주어져도 여러 식의 값을 구할 수 있다.
다항식 f(x) 를 x − c 로 나눌 때, 계수만 가지고 빠르게 몫과 나머지를 구하는 방법이 조립제법이다.
계수를 빈칸 없이(0 도 써서) 입력하고 c 를 정하면 표가 단계별로 채워진다.
x − 2 는 f(x) 의 인수다.
나머지정리: f(x) 를 x − c 로 나눈 나머지는 f(c) 와 같다.
조립제법 표의 맨 오른쪽 아래 숫자가 곧 f(c) 다.
인수정리: f(c) = 0 이면 x − c 가 f(x) 의 인수이고, 그 반대도 성립한다.
삼차 이상 다항식의 인수분해는 보통 f(c) = 0 이 되는 c (상수항의 약수 ÷ 최고차항의 약수)를 하나 찾아
조립제법으로 차수를 낮추는 방식으로 한다.
x² + px + q 를 (x − α)(x − β) 로 인수분해하면, 전개해서 비교했을 때
두 근의 합 α + β = −p, 두 근의 곱 αβ = q 가 된다.
슬라이더로 p, q 를 바꾸면 두 근이 실시간으로 계산된다.
슬라이더를 움직이다 보면 D = p² − 4q 가 완전제곱수일 때만 정수/유리수 계수로 깔끔하게 인수분해된다는 걸 알 수 있다.
D < 0 이면 실수 범위에서는 인수분해가 안 되고(허근), D = 0 이면 (x − α)² 꼴의 완전제곱식이 된다.
이는 이차함수 그래프에서 포물선이 x축과 만나는 횟수와 정확히 같은 이야기다.
f(x) ÷ (x−c) 의 나머지 = f(c) 가 그 다리 역할을 한다.