이차부등식의 해

공통수학1 · 방정식과 부등식 — ax²+bx+c > 0 의 해는 포물선이 x축보다 위에 있는 x의 범위. 두 근 α < β 를 경계로, 아래로 볼록이면 바깥이 양수·안이 음수.

1. 직접 해보기

a, b, c 를 조절해 근의 개수를 바꾸고, 초록으로 칠해진 ‘f(x) > 0 인 구간’ 을 근과 비교하자.

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부등식	D > 0 (근 α<β)	D = 0 (중근 m)	D < 0
f(x) > 0	x < α 또는 x > β	x ≠ m 인 모든 실수	모든 실수
f(x) < 0	α < x < β	해 없음	해 없음
f(x) ≥ 0	x ≤ α 또는 x ≥ β	모든 실수	모든 실수

‘모든 실수 x 에서 ax²+bx+c > 0’ ⇔ a > 0 이고 D < 0. ‘해가 없다’ 나 ‘항상 성립’ 같은 표현은 곧 판별식 조건으로 바꾼다. (a < 0 이면 위아래가 뒤집힌다)

핵심 이차부등식은 y = f(x) 그래프에서 x축 위(>0)·아래(<0) 구간을 읽는 것. 두 근 사이인지 바깥인지, a의 부호가 방향을 정한다.