제한된 범위에서 이차함수의 최대·최소

공통수학1 · 방정식과 부등식 — 이차함수의 최대·최소는 꼭짓점의 위치와 주어진 범위 [p, q] 의 관계로 정해진다. 꼭짓점이 범위 안에 있으면 그곳에서 최대 또는 최소.

1. 직접 해보기

포물선의 꼭짓점(h)과 범위 [p, q] 를 움직여 본다. 파란 구간에서 함수의 최댓값·최솟값이 어디서 나오는지 관찰하자.

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t = x²−2x 처럼 새 변수로 치환하면 t 의 범위가 생긴다. 이때 t 의 범위(정의역)를 먼저 구하고, 그 안에서 이차식의 최대·최소를 위 표대로 따진다.

핵심 이차함수의 최대·최소 문제는 ‘꼭짓점이 범위 안인가 밖인가’ 로 경우를 나눈다. 밖이면 답은 항상 구간의 끝점.