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나머지정리와 조립제법
공통수학1 · 다항식 — 다항식 P(x)를 일차식 (x−a)로 나눈 나머지는 P(a) 하나로 정해진다. 긴 나눗셈 대신 조립제법으로 몫과 나머지를 한 줄에 계산하고, 그 나머지가 그래프 위 x=a 에서의 y값과 같음을 눈으로 확인하자.
슬라이더로 계수를 바꿔 삼·사차 다항식 P(x)를 만들고, a를 움직이면 조립제법 표와 그래프의 빨간 점 (a, P(a)) 이 실시간으로 갱신됩니다. 나머지가 0이 되는 a를 찾으면 (x−a)가 P(x)의 인수입니다(그래프가 x축과 만나는 곳).
P(x) = (x − a)·Q(x) + R, 그리고 R = P(a)
다항식 P(x)를 일차식 (x − a) 로 나누면 몫을 Q(x), 나머지를 R 이라 할 때 나머지는 항상 상수이고 다음이 성립한다.
양변에 x = a 를 대입하면 (a − a)·Q(a) = 0 이므로
즉 실제로 나눠 보지 않아도 x에 a를 넣기만 하면 나머지를 알 수 있다. 일차식 (bx − c) 로 나눌 때는 bx − c = 0, 즉 x = c/b 를 대입한 P(c/b) 가 나머지다.
| 나누는 식 | 0으로 만드는 값 | 나머지 |
|---|---|---|
| x − 2 | x = 2 | P(2) |
| x + 3 | x = −3 | P(−3) |
| 2x − 1 | x = 1/2 | P(1/2) |
나머지정리에서 특히 R = 0 인 경우를 인수정리라 한다.
그래프에서는 P(x)가 x축과 만나는 점의 x좌표가 바로 이런 a 이다. 위 시뮬레이터에서 a를 움직여 나머지 R을 0으로 만들면, 빨간 점이 정확히 x축 위에 놓인다.
(x − a) 로 나눌 때는 계수만 뽑아 «곱해서 더하기»를 반복하면 몫과 나머지가 한 줄에 나온다. 예를 들어 P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6 을 (x − 1) 로 나누면:
| a = 1 | 1 | −2 | −5 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| ↓ | 1 | −1 | −6 | |
| 더한 값 | 1 | −1 | −6 | 0 |
맨 아래 줄의 앞 세 수 1, −1, −6 이 몫 Q(x) = x² − x − 6 의 계수, 마지막 수 0 이 나머지다. 나머지가 0이므로 P(x) = (x − 1)(x² − x − 6) = (x − 1)(x − 3)(x + 2) 로 인수분해된다.