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부등식의 영역
공통수학1 · 방정식과 부등식 — 부등식 하나는 좌표평면을 두 조각으로 나눈다. 어느 쪽이 답일까? 경계 위가 아닌 점 하나만 대입해 보면 바로 갈린다. 연립부등식이면 각 영역을 겹쳐 공통부분을 찾는다.
y ≤ mx + k 는 직선 아래쪽, (x−a)² + (y−b)² ≤ r² 는 원의 안쪽처럼 익숙한 도형의 «안/밖/위/아래»가 곧 부등식의 영역이다. 아래에서 부등식을 2~4개까지 켜고, 유형과 부호를 바꿔 가며 색칠된 영역이 어떻게 겹치는지 직접 확인해 보자.
각 부등식의 해영역은 연한 색으로, 모든 부등식을 동시에 만족하는 공통영역은 진한 보라색으로 칠해진다. 경계선은 등호를 포함하면(≤ ≥) 실선, 포함하지 않으면(< >) 점선이다. 캔버스를 클릭하면 그 점이 각 부등식을 만족하는지 O/X로 표시된다.
부등식 f(x, y) ≤ 0 을 생각하자. 경계 f(x, y) = 0 은 평면을 두 부분으로 나눈다. 경계 위에 있지 않은 아무 점 (x₀, y₀) 하나를 골라 대입했을 때
| 대입 결과 | 그 점이 있는 쪽 | 부등식의 영역 |
|---|---|---|
| f(x₀, y₀) < 0 | 참 | 그 점을 포함하는 쪽 전체 |
| f(x₀, y₀) > 0 | 거짓 | 반대쪽 전체 |
한 영역 안에서는 f 의 부호가 절대 바뀌지 않기 때문에, 점 하나로 그 영역 전체가 결정된다. 보통 원점 (0, 0) 을 시험점으로 쓰면 계산이 가장 쉽다(경계가 원점을 지나지 않는 한).
부등식을 여러 개 동시에 만족시키라는 것이 연립부등식이다. 각 부등식의 영역을 따로 칠한 뒤 겹치는 부분(교집합)이 답이다. 위 위젯에서 진한 보라색으로 강조되는 영역이 바로 이것이다. 부등식을 하나씩 켜고 끄며 공통영역이 어떻게 좁아지는지 살펴보자.
공통영역의 경계는 여러 곡선의 «조각»으로 이루어진다. 두 경계가 만나는 점이 꼭짓점이 되고, 경계가 직선들뿐이면 공통영역은 볼록다각형이 된다.
제약조건이 모두 일차부등식이면 공통영역은 볼록다각형(또는 반평면 조각)이다. 이때 목적식
의 값이 같은 점들을 이으면 기울기 −p/q 인 평행한 직선들(등z선)이 된다. 이 직선을 공통영역을 가로질러 평행이동시키면, z가 최대·최소가 되는 곳은 반드시 다각형의 꼭짓점(또는 변 전체)이다.
※ 위젯의 직선 부등식은 y 에 대해 정리된 꼴만 다루므로 x ≥ 0 같은 수직 경계는 표현하지 못한다. 실제 문제에서는 x ≥ 0, y ≥ 0 도 흔한 제약조건이다.