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복소수와 켤레복소수
공통수학1 · 방정식과 부등식(복소수) — 복소수 z = a + bi 는 좌표평면의 한 점 (a, b) 로 그릴 수 있다. 켤레 z̄ 는 실수축 대칭, i 를 곱하는 것은 원점 중심 90° 회전이다.
복소평면에서 파란 점 z 와 보라 점 w 를 드래그하거나 슬라이더로 실수부·허수부를 바꿔 보세요. 아래 «보기» 칩으로 켤레 · −z · iz · 덧셈(평행사변형) · 곱셈(크기 곱·각 합) 중 무엇을 그릴지 고를 수 있습니다.
실수 a, b 와 i² = −1 인 허수단위 i 에 대하여 z = a + bi 꼴로 나타내는 수를 복소수라 한다. a 를 실수부 Re(z), b 를 허수부 Im(z) 라 한다.
| 조건 | 이름 | 예 |
|---|---|---|
| b = 0 | 실수 | 5, −2 |
| b ≠ 0 | 허수 | 2 + 3i |
| a = 0, b ≠ 0 | 순허수 | 4i, −i |
복소수가 서로 같을 조건: a + bi = c + di ⟺ a = c 이고 b = d (실수부끼리, 허수부끼리 같다).
z = a + bi 의 켤레복소수는 허수부의 부호를 바꾼 z̄ = a − bi 이다. 복소평면에서는 실수축에 대한 대칭이다.
| 성질 | 식 |
|---|---|
| 켤레의 켤레 | (z̄)‾ = z |
| 합·차의 켤레 | (z ± w)‾ = z̄ ± w̄ |
| 곱·몫의 켤레 | (z·w)‾ = z̄·w̄, (z/w)‾ = z̄/w̄ |
| z 가 실수 ⟺ | z = z̄ |
| z 가 순허수 ⟺ | z = −z̄ (z ≠ 0) |
z = a + bi 의 절댓값 |z| = √(a² + b²) 는 복소평면에서 원점부터 z 까지의 거리다.
즉 (a, b) → (−b, a) 로, 이것은 원점을 중심으로 반시계 방향 90° 회전이다. 크기 |iz| = |z| 는 그대로다. i 를 두 번 곱하면 180° 회전, 즉 i²z = −z 가 된다.
덧셈은 성분끼리 더한다: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. 복소평면에서는 두 화살표로 만드는 평행사변형의 대각선이다.
곱셈은 크기는 곱하고 편각(각도)은 더한다: |zw| = |z||w|, 그리고 z, w 의 편각을 각각 θ₁, θ₂ 라 하면 zw 의 편각은 θ₁ + θ₂. i 의 크기는 1, 편각은 90° 이므로 «i 곱하기 = 90° 회전» 이 여기서 자연스럽게 나온다.