에듀테크 프로젝트 대시보드
집합의 연산과 벤 다이어그램
공통수학2 · 집합과 명제. 합집합·교집합·여집합·차집합을 그림으로 보고, 원소 개수의 합의 법칙을 직접 검증한다.
집합 연산은 기호만 보면 헷갈리지만, 벤 다이어그램으로 영역을 칠해 보면 한눈에 들어온다. 전체집합 U는 바깥 사각형, 두(또는 세) 집합은 원으로 그린다. 아래에서 원소를 이리저리 옮기고 연산 버튼을 눌러 어느 영역이 칠해지는지, 그리고 원소 개수가 어떻게 맞아떨어지는지 확인해 보자.
원소 버튼을 클릭하면 바깥 → A만 → A∩B → (A∩B∩C) → A∩C → B만 → B∩C → C만 순서로 영역을 순환한다. 연산 버튼을 누르면 해당 영역이 색칠되고, 아래에 원소 목록과 개수가 나온다.
클릭할 때마다 원소가 다음 영역으로 이동합니다. (아래 작은 글씨 = 현재 영역)
위젯에서 색칠해 본 영역을 기호로 정리하면 다음과 같다. U는 전체집합이다.
| 연산 | 기호 | 정의 | 벤 영역 |
|---|---|---|---|
| 합집합 | A ∪ B | A에 속하거나 B에 속하는 원소 전체 | 두 원을 합친 부분 |
| 교집합 | A ∩ B | A에도 속하고 B에도 속하는 원소 | 두 원이 겹치는 부분 |
| 여집합 | Aᶜ | U의 원소 중 A에 속하지 않는 원소 | A 바깥 전체 |
| 차집합 | A − B | A에 속하지만 B에는 속하지 않는 원소 (= A ∩ Bᶜ) | A에서 겹침을 뺀 부분 |
| 대칭차 | A △ B | (A − B) ∪ (B − A), 한쪽에만 속하는 원소 | 겹침을 제외한 두 초승달 |
| 이름 | 식 |
|---|---|
| 교환법칙 | A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A |
| 결합법칙 | (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) |
| 분배법칙 | A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) |
| 드모르간 법칙 | (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ, (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ |
(A ∪ B)ᶜ 버튼을 누르면 두 원 바깥 영역이 칠해진다.
이 원소들은 정확히 "A에도 없고 B에도 없는" 원소, 즉 Aᶜ ∩ Bᶜ와 같다.
집합 A의 모든 원소가 B에도 속하면 A는 B의 부분집합(A ⊆ B)이다. A ⊆ B 이고 A ≠ B 이면 진부분집합(A ⊊ B)이다. 공집합 ∅ 과 자기 자신은 항상 부분집합이다.
원소가 n개인 집합의 부분집합은 각 원소를 "넣는다/뺀다" 2가지로 정하므로 2ⁿ개다.
합집합의 원소를 셀 때 그냥 n(A) + n(B) 를 하면 겹치는 부분 n(A ∩ B) 를 두 번 센다. 그래서 한 번 빼 준다.
원이 세 개면 두 개씩 겹친 부분은 빼고, 세 개 모두 겹친 부분은 다시 더한다 (포함–배제).
1번 위젯의 수치판과 식은 원소를 어떻게 옮겨도 항상 등식이 성립한다.