지수법칙과 거듭제곱근

대수 · 지수함수와 로그함수 — 「같은 밑을 몇 번 곱하는가」를 세는 것이 지수다. 이 관점을 유지하면 지수법칙 aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ 이 자연스럽고, 지수를 정수 → 유리수 → 실수로 넓힐 때 ⁿ√a = a^(1/n) 이 되는 이유도 보인다.

아래에서 밑 a 와 지수 m, n 을 바꾸며 y = aˣ 그래프 위의 점을 드래그해 보자. 네 가지 지수법칙이 항상 등식으로 성립하는 것을 수치로 확인하고, 아래쪽 수직선에서는 ⁿ√a 가 n이 커질수록 어떻게 1에 가까워지는지 볼 수 있다.

1. 직접 해보기

슬라이더로 밑 a 를 정하고, 그래프의 주황 점을 좌우로 드래그하면 지수 m이 바뀝니다. 두 번째 슬라이더 n과 함께 지수법칙 4개가 실시간 검증됩니다.

2. 거듭제곱근과 유리수 지수

n 이 2 이상의 자연수일 때, xⁿ = a 를 만족하는 x를 a의 n제곱근이라 하고, 실수 범위에서 대표값을 ⁿ√a 로 쓴다. 지수법칙 (a^(1/n))ⁿ = a^(n/n) = a 가 성립하도록 지수를 유리수까지 넓히면 다음과 같다.

아래 수직선은 현재 밑 a 에 대해 ¹√a, ²√a, …, ⁶√a 의 위치를 표시한다. 밑 슬라이더를 움직여 보자.

거듭제곱근의 대소 비교

지수가 분수인 수들의 크기는 지수의 분모를 통분해 비교한다. 예를 들어 ³√2 와 ⁶√5 를 비교하려면 지수를 6분모로 맞춘다.

3. 실수 지수로의 확장

유리수 지수까지 정의했으면, 무리수 지수 a^√2 같은 값은 √2 ≈ 1.41, 1.414, 1.4142, … 처럼 √2 에 수렴하는 유리수열의 지수값 a^1.41, a^1.414, … 이 한 값에 수렴하는 것으로 정의한다. 이렇게 하면 모든 실수 x에 대해 aˣ 이 정의되고, 지수법칙이 그대로 성립하며, y = aˣ 은 끊김 없는 매끄러운 곡선이 된다.