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점화식과 수열의 극한 — 거미줄 그림
고등학교 대수 — 수열 단원. 바로 앞 항으로 다음 항을 정하는 규칙 aₙ₊₁ = f(aₙ)을 점화식이라 한다. 같은 함수 f를 계속 먹이면 수열은 한 점으로 수렴하기도, 무한대로 발산하기도, 두 값을 진동하기도 한다. 이 움직임을 한눈에 보여주는 그림이 거미줄 그림(cobweb plot)이다.
함수 f를 고르고 계수를 조절한 뒤, 초깃값 a₁을 슬라이더로 바꾸거나 왼쪽 그림을 클릭해 보자. 왼쪽은 곡선 y = f(x)·직선 y = x와 계단(거미줄) 경로, 오른쪽은 항 번호 n에 대한 aₙ 그래프다. ▶ 재생으로 한 항씩 진행된다.
초깃값 a₁에서 출발해 두 가지 이동을 번갈아 한다.
이 계단이 고정점 f(L) = L(두 그래프의 교점)으로 말려 들어가면 수렴, 바깥으로 퍼져 나가면 발산, 네모를 그리며 맴돌면 주기 진동이다. 곡선이 교점에서 완만할수록(기울기의 절댓값이 작을수록) 빨리 빨려 들어간다.
aₙ = L + eₙ (오차)로 놓고 점화식에 넣으면, f를 L 근처에서 일차근사해서
즉 오차는 매 단계 약 f′(L)배가 된다. 따라서
| |f′(L)| | 거미줄 | 수열 |
|---|---|---|
| < 1 | 안으로 말림 | L로 수렴 (끌어당김 고정점) |
| > 1 | 밖으로 퍼짐 | L에서 멀어짐 (밀어냄 고정점) |
| = 1 | 경계 | 더 자세히 봐야 함 (미묘) |
f′(L) < 0이면 오차의 부호가 매번 바뀌므로 진동하며 수렴/발산한다.
| f(x) | 고정점 L | f′(L) | 수렴 조건 |
|---|---|---|---|
| r·x | 0 | r | |r| < 1 |
| r·x + d | d/(1−r) | r | |r| < 1 |
| k·x(1−x) | 1 − 1/k | 2 − k | 1 < k < 3 |
| (x + A/x)/2 | √A | 0 | 항상 (2차 수렴) |
| 1 + 1/x | φ = (1+√5)/2 | −1/φ² ≈ −0.382 | 항상 (진동 수렴) |
로지스틱은 k > 3에서 고정점이 밀어냄으로 바뀌며 주기 2 → 4 → 8 …로 갈라지다가 k ≈ 3.57 이후 혼돈(chaos)에 들어간다. 슬라이더로 k를 3.2, 3.5, 3.9로 바꿔 보자.
피보나치 수열 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …은 두 항으로 정의된다: Fₙ₊₁ = Fₙ + Fₙ₋₁. 이웃한 항의 비 rₙ = Fₙ₊₁ / Fₙ만 따로 보면, 양변을 Fₙ으로 나눠
정확히 위젯의 황금비 함수 f(x) = 1 + 1/x 점화식이다. 고정점은 L = 1 + 1/L, 즉 L² = L + 1의 양의 해
f′(φ) = −1/φ² ≈ −0.382이고 절댓값이 1보다 작으므로, 어떤 양수에서 출발해도 비는 φ를 사이에 두고 위아래로 오가며 수렴한다.
√A를 구하는 바빌로니아 방법 aₙ₊₁ = (aₙ + A/aₙ)/2는 방정식 g(x) = x² − A = 0에 뉴턴법을 적용한 것과 똑같다.
뉴턴법의 반복함수는 항상 해에서 f′(L) = 0이 된다(여기서도 f′(√A) = (1 − A/A)/2 = 0). 오차가 eₙ₊₁ ≈ C·eₙ²로 제곱으로 줄어드는 2차 수렴이라, 맞는 자리 수가 한 단계마다 대략 두 배로 늘어난다. A = 2, a₁ = 8로 놓고 오른쪽 그래프에서 서너 항 만에 √2에 도달하는 걸 확인해 보자.
거미줄 그림은 수렴한다는 직관을 주지만, 증명은 아니다. 예로 a₁ = 1, aₙ₊₁ = √(2 + aₙ)가 2로 수렴함을 보이려면 두 가지를 귀납법으로 확인한다.
"유계인 단조수열은 수렴한다"는 정리와, 극한을 점화식에 대입해 f(L) = L을 푸는 두 단계가 수열 극한 문제의 표준 풀이다.