등차수열과 등비수열

고등학교 대수 — 수열 단원. 수를 규칙적으로 늘어놓는 두 가지 기본 방법: 일정한 값을 더하며 자라는 등차수열, 일정한 배수를 곱하며 자라는 등비수열. 슬라이더를 움직여 두 수열의 모양과 합이 어떻게 달라지는지 직접 보자.

수열이란 순서가 있는 수의 나열이다. a₁, a₂, a₃, … 이렇게 쓰고, n번째 수 aₙ을 일반항이라 부른다. 일반항을 n에 대한 식으로 나타낼 수 있으면 어떤 항이든 바로 계산할 수 있다.

1. 직접 해보기

수열의 종류를 고르고, 첫째항과 공차(또는 공비), 항의 개수 n을 조절해 보자. 위쪽 그래프는 각 항 aₖ, 아래쪽 그래프는 부분합 Sₖ = a₁ + a₂ + ⋯ + aₖ를 누적 영역으로 보여준다.

첫째항 a 2

공차 d 1

항의 개수 n 8

일반항 공식

aₙ = 2 + (n−1)·1

부분합 공식

Sₙ = n(a₁+aₙ)/2

처음 몇 항

–

부분합 Sₙ (n = 8)

–

2. 관찰 — 직선 vs 지수 곡선

등차수열에서 항을 점으로 찍으면 일직선 위에 놓인다. 매번 같은 값 d만큼 올라가니 기울기가 일정한 일차함수 aₙ = dn + (a−d) 꼴이기 때문이다.

등비수열은 매번 같은 배수 r를 곱하므로 aₙ = a·rⁿ⁻¹, 즉 지수함수 모양이다. r > 1이면 폭발적으로 커지고, 0 < r < 1이면 0에 붙어 가며, r < 0이면 부호가 번갈아 나타난다.

	등차수열	등비수열
이웃한 두 항의 관계	차가 일정: aₙ₊₁ − aₙ = d	비가 일정: aₙ₊₁ / aₙ = r
일반항	aₙ = a + (n−1)d	aₙ = a·rⁿ⁻¹
점을 찍으면	일직선	지수 곡선
부분합 Sₙ	n(a₁+aₙ)/2	a(rⁿ−1)/(r−1) (r≠1)

3. 등차중항과 등비중항

세 수 x, y, z가 이 순서로 등차수열을 이루면, 가운데 y를 등차중항이라 하고 y − x = z − y, 즉

y = (x + z) / 2 (두 수의 산술평균)

세 수가 등비수열을 이루면 가운데 y는 등비중항이고 y / x = z / y, 즉

y² = xz → y = ±√(xz) (두 수의 기하평균)

위젯에서 아무 세 개의 연속한 항 aₖ₋₁, aₖ, aₖ₊₁을 골라 확인해 보면, 등차에서는 가운데 항이 양옆의 평균, 등비에서는 가운데 항의 제곱이 양옆의 곱이 된다.

4. 합 공식은 어떻게 유도할까

등차수열 — 가우스의 방법 (거꾸로 더하기)

어린 가우스가 1 + 2 + ⋯ + 100을 순식간에 풀었다는 일화의 아이디어다. 같은 합을 정순서와 역순서로 나란히 놓고 세로로 더한다.

Sₙ = a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ₋₁ + aₙ Sₙ = aₙ + aₙ₋₁ + ⋯ + a₂ + a₁ ───────────────────────────────────────────── 2Sₙ = (a₁+aₙ) + (a₁+aₙ) + ⋯ + (a₁+aₙ) ← n개 2Sₙ = n(a₁ + aₙ) ∴ Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 = n{2a + (n−1)d} / 2

세로로 더한 각 묶음이 모두 a₁ + aₙ로 똑같아지는 게 핵심이다. 등차수열이라 앞에서 한 칸 올라간 만큼 뒤에서 한 칸 내려오기 때문이다.

등비수열 — 양변에 r 곱하기

합에 공비 r를 곱하면 각 항이 한 칸씩 밀린다. 원래 식에서 빼면 가운데가 모두 소거된다.

Sₙ = a + ar + ar² + ⋯ + arⁿ⁻¹ rSₙ = ar + ar² + ⋯ + arⁿ⁻¹ + arⁿ ───────────────────────────────────────── Sₙ − rSₙ = a − arⁿ (1 − r)Sₙ = a(1 − rⁿ) ∴ Sₙ = a(1 − rⁿ) / (1 − r) = a(rⁿ − 1) / (r − 1) (r ≠ 1)

r = 1이면 모든 항이 a로 같으니 Sₙ = na이다.

5. 무한등비급수 — |r| < 1 이면 합이 수렴한다

등비수열의 합 공식 Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)에서 |r| < 1이면 n이 커질수록 rⁿ → 0이다. 따라서

S = a + ar + ar² + ⋯ = a / (1 − r) (|r| < 1)

아래 데모에서 항의 개수 N을 늘리면 부분합 S_N이 수평선 a/(1−r)에 점점 가까워지는 게 보인다.

첫째항 a 1

공비 r 0.6

항의 개수 N 12

수렴값 a/(1−r)

–

S_N 과의 차이

–

6. 수학적 귀납법 한 문단

합 공식이 모든 자연수 n에서 성립함을 엄밀히 보이려면 수학적 귀납법을 쓴다. 예로 1 + 2 + ⋯ + n = n(n+1)/2를 증명해 보자. (1) 기초 단계: n = 1이면 좌변 1, 우변 1·2/2 = 1로 성립한다. (2) 귀납 단계: 어떤 n = k에서 1 + 2 + ⋯ + k = k(k+1)/2가 참이라고 가정하면, 양변에 k+1을 더해 1 + ⋯ + k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2가 되어 n = k+1에서도 같은 꼴이 성립한다. 기초와 귀납이 모두 참이므로, 도미노가 쓰러지듯 공식은 모든 자연수 n에서 참이다. 등차·등비의 Sₙ 공식도 똑같은 방식으로 증명된다.

한 줄 요약 — 등차수열은 더하기(공차 d)로 자라 점을 찍으면 직선, 합은 가우스식 거꾸로 더하기로 n(a₁+aₙ)/2. 등비수열은 곱하기(공비 r)로 자라 지수 곡선, 합은 양변에 r을 곱해 빼서 a(rⁿ−1)/(r−1). |r|<1이면 무한합이 a/(1−r)로 수렴한다.
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