로그의 성질

대수 · 지수함수와 로그함수 — 로그는 「밑을 몇 제곱해야 그 수가 되는가」를 나타내는 지수다. 지수법칙 aˣ·aʸ = aˣ⁺ʸ 를 로그의 언어로 옮기면 logₐ(MN) = logₐM + logₐN, 즉 곱셈이 덧셈으로 내려온다.

아래 계산기에서 M, N 과 밑 a 를 바꾸며 로그의 네 가지 성질이 수치로 정확히 일치하는 것을 확인하자. 오른쪽 그래프에서는 y = logₐx 와 y = aˣ 이 직선 y = x 에 대해 대칭임을 볼 수 있다.

1. 직접 해보기

슬라이더로 M, N, 밑 a 와 지수 k 를 조절하세요. 그래프의 주황 점을 드래그하면 x 가 바뀌며 logₐx 와 그 역함수 값을 함께 보여줍니다.

M 8.0

N 4.0

밑 a 2.00

지수 k 3.0

logₐ M

–

logₐ N

–

logₐ(MN)

–

logₐM + logₐN

–

로그의 성질	좌변	우변	일치
logₐ(MN) = logₐM + logₐN	–	–	–
logₐ(M/N) = logₐM − logₐN	–	–	–
logₐ(Mᵏ) = k · logₐM	–	–	–
logₐM = (log M)/(log a) (밑변환)	–	–	–

2. 로그의 정의와 기본 성질

a > 0, a ≠ 1, x > 0 일 때 aʸ = x ⇔ y = logₐx. 즉 logₐx 는 「a를 몇 제곱하면 x가 되는가」 라는 지수다.

logₐ1 = 0 , logₐa = 1 , logₐaᵏ = k , a^(logₐx) = x

지수법칙	대응하는 로그 성질
aˢ · aᵗ = aˢ⁺ᵗ	logₐ(MN) = logₐM + logₐN
aˢ ÷ aᵗ = aˢ⁻ᵗ	logₐ(M/N) = logₐM − logₐN
(aˢ)ᵏ = aˢᵏ	logₐ(Mᵏ) = k logₐM

밑변환 공식 — 임의의 밑 c (> 0, ≠ 1) 에 대해 logₐb = (log_c b) / (log_c a). 특히 logₐb = 1 / (log_b a) 이고, 계산기의 log(상용로그)나 ln(자연로그) 하나만 있으면 어떤 밑의 로그도 구할 수 있다.

3. 상용로그의 지표와 가수

밑이 10인 로그 log x 를 정수부분(지표) + 0 이상 1 미만의 소수부분(가수) 로 나눈다. 지표는 x 가 몇 자리 수인지(또는 소수 몇째 자리에서 시작하는지)를, 가수는 숫자 배열을 결정한다.

–

x 범위	log x	지표	정수부 자릿수
1 ≤ x < 10	0.___	0	1자리
10 ≤ x < 100	1.___	1	2자리
100 ≤ x < 1000	2.___	2	3자리
0.1 ≤ x < 1	−1 + 0.___	−1	소수 첫째 자리

4. y = logₐx 와 y = aˣ 의 대칭

y = logₐx 는 y = aˣ 의 역함수다. 역함수 그래프는 원래 그래프를 직선 y = x 에 대해 대칭이동한 것이다. 그래서 y = aˣ 의 점 (0, 1) 은 y = logₐx 의 점 (1, 0) 에, y축 점근선은 x축 점근선에 대응한다.

한 줄 요약 — 로그는 「지수를 끄집어낸 것」이다. 지수법칙을 뒤집으면 곱 → 합(log MN = log M + log N), 나눗셈 → 차, 거듭제곱 → 상수배(log Mᵏ = k log M) 로 바뀐다. 밑변환 logₐb = (log_c b)/(log_c a) 로 밑을 자유롭게 갈아끼운다.

관련: 지수·로그 계산기 · 지수법칙과 거듭제곱근 · 로그 스케일