시그마와 수열의 합

대수 · 수열 — ∑ 는 「여러 항을 더하라」는 명령 기호다. Σ(k=1→n) aₖ = a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ. 더하기의 성질(교환·결합·분배)에서 ∑ 의 성질이 그대로 따라 나오고, Σk, Σk², Σk³ 에는 닫힌 공식이 있다.

슬라이더로 n 을 키우며 막대(계단)를 쌓아 보자. 쌓인 막대의 총량이 공식값 n(n+1)/2 등과 정확히 일치하는 것을 확인하고, Σk³ = (Σk)² 는 정사각형 그림으로 이해한다.

1. 직접 해보기

슬라이더로 항의 개수 n 을 조절하고, 칩으로 더할 대상 (k, k², k³) 을 고르세요. 계산으로 구한 합과 공식값이 함께 표시됩니다.

Σ k Σ k² Σ k³ = (Σk)²

항의 개수 n8

상수 c (성질 검증용)3

한 항씩 더한 합

–

공식값

–

일치 여부

–

∑ 의 성질 (aₖ = k, bₖ = k², 상수 c)	좌변	우변	일치
Σ(aₖ + bₖ) = Σaₖ + Σbₖ	–	–	–
Σ c·aₖ = c·Σaₖ	–	–	–
Σ(k=1→n) c = c·n	–	–	–

2. ∑ 기호의 뜻과 성질

Σ(k=1→n) aₖ = a₁ + a₂ + a₃ + ⋯ + aₙ (k: 더하는 변수, 1: 시작, n: 끝)

덧셈은 순서를 바꿔도, 묶는 방법을 바꿔도 결과가 같다. 그래서:

성질	이유
Σ(aₖ ± bₖ) = Σaₖ ± Σbₖ	더하는 순서를 재배열
Σ c·aₖ = c·Σaₖ	공통인수 c를 밖으로 (분배법칙)
Σ(k=1→n) c = c·n	상수 c를 n번 더함

주의 — Σ(aₖ·bₖ) ≠ (Σaₖ)(Σbₖ) 이고 Σ(aₖ/bₖ) ≠ (Σaₖ)/(Σbₖ) 다. ∑ 는 덧셈에 대해서만 분리된다. 또 Σ(k=1→n) aₖ = Σ(k=1→n) aᵢ 처럼 더미 변수 이름은 무엇이든 상관없다.

3. 자연수 거듭제곱의 합 공식

Σ(k=1→n) k = n(n+1)/2

Σ(k=1→n) k² = n(n+1)(2n+1)/6

Σ(k=1→n) k³ = { n(n+1)/2 }² = ( Σk )²

Σk 의 그림 증명 — 1+2+⋯+n 을 두 번 써서 거꾸로 포갠다. 각 열의 합이 n+1 이고 열이 n 개이므로 두 배가 n(n+1), 따라서 합은 n(n+1)/2.

Σk³ 의 그림 증명 — 위 캔버스에서 «Σk³» 를 고르면, 한 변이 Σk = n(n+1)/2 인 정사각형이 넓이 k³ 짜리 ㄱ자(그노몬) 들로 정확히 채워진다. 그래서 Σk³ = (Σk)².

4. 합 공식의 활용

일반항이 다항식인 수열의 합은 위 세 공식의 선형결합으로 계산한다. 예: Σ(3k² − 2k + 5) = 3·Σk² − 2·Σk + 5n. 또 Σ(k=m→n) aₖ = Σ(k=1→n) aₖ − Σ(k=1→m−1) aₖ 로 시작을 옮긴다.

한 줄 요약 — ∑ 는 덧셈의 축약이라 덧셈의 성질(분리·상수배)을 물려받는다. Σk = n(n+1)/2, Σk² = n(n+1)(2n+1)/6, Σk³ = (Σk)² 세 공식과 선형성으로 다항수열의 합을 모두 계산한다.

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